Арифметическая обработка чисел во многом определяется системами счисления, представляющими собой совокупность используемых цифр и набором правил, позволяющих однозначно представлять числовую информацию.

В своей повседневной деятельности человек использует различные системы счисления, к числу которых относятся десятичная система счисления, римская система, система исчисления времени и т.д. Все системы счисления можно подразделить на позиционные и непозиционные.

В не позиционных системах счисления «доля» цифры или её вес в количественном измерении записанного числа не зависит от местоположения данной цифры в записи этого числа. Типичным примером такой системы счисления является римская система счисления. В этой системе используются цифры:

I V X L C D M и т.д. - римские цифры;

1 5 10 50 100 500 1000 - десятичные эквиваленты. римским цифрам.

При количественной оценки числа его значение определяется как сумма значений цифр, составляющих запись числа, кроме пар, состоящих из цифры меньшего веса, предшествующей цифре большего веса, значение которой определяется как разность веса большей и меньшей цифр. Например, значение числа

определяется как сумма

1000 + 1000 + 1000 +(1000-100) + 50 + (10- 1), что соответствует десятичному эквиваленту 3959.

Позиционная система счисления характеризуется тем, что «доля» некоторой цифры в количественной оценки записанного числа определяется не только видом цифры, но и местоположением (позицией) данной цифры в записи числа, т.е. каждая позиция (разряд) в записи числа имеет определенный вес.

Количественная оценка записанного числа в такой системе счисления определяется как сумма произведений значения цифр, составляющих запись числа, умноженных на вес позиции, в которой располагается цифра.

Примером такой системы счисления является широко используемая десятичная система счисления. Например, количественная оценка десятичного числа

определяется как

3*1000+9*100+5*10 +9*1, где 1000, 100, 10, 1 - соответственно веса четвертого, третьего, второго, первого разрядов записи оцениваемого числа.

Десятичная система счисления является также системой с равномерно распределенными весами, которые характеризуются тем, что соотношение весов двух любых соседних разрядов имеют для такой системы одинаковое значение. Это соотношение называется основанием системы счисления, которое в дальнейшем будем обозначать как «q».

Общая запись числа в системе с равномерно распределенными весами имеет вид

N q = А n А n-1 .... А 2 А 1 А 0 . (1)

Значение такого числа определяется как

N q = А n *q n + А n-1 *q n-1 + А n-2 *q n-2 + ..... А 2 *q 2 + А 1 *q 1 + А 0 *q 0 , (2)

где А i - цифра записи числа, удовлетворяющая условию

0<= А i <=(q-1);

q - основание системы счисления.

При q =10 А изменяется в диапазоне от 0 до 9, т.е. до (10-1).

Запись числа N в виде (1) называется кодированной, а запись в форме (2) называется расширенной записью.

Помимо q=10 (десятичная система счисления ) возможны другие значения для основания системы счисления:

двоичная система счисления ;

восьмеричная система счисления ;

шестнадцатеричная система счисления и т.д.

Для обозначения цифр в различных системах счисления в качестве цифр используются обозначение соответствующих цифр десятичной системы счисления - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а в случае, когда десятичных цифр «не хватает» (для систем счисления с основанием q , большим чем 10), для цифр, превышающих 9, вводятся дополнительные обозначения, например, для q =16 это будут обозначения А, В, C, D, E, F, которые соответствуют шестнадцатеричным цифрам, десятичные эквиваленты которых равны, соответственно 10, 11, 12, 13, 14, 15.

В связи с тем, что в дальнейшем изложении будут использоваться различные системы счисления, примем обозначение:

N q - число N, представленное в системе счисления с основанием q.

Примеры записи чисел в различных системах счисления:

N 2 = 10011011 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 1*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 +1*2 0 ,

N 8 = 471025 =4*8 5 + 7*8 4 + 1*8 3 + 0*8 2 + 2*8 1 +5*8 0 ,

N 16 = 84FE4A= 8*16 5 + 4*16 4 + F*16 3 + E*16 2 + 4*16 1 +A*16 0 ,

N 10 = 35491 = 3*10 4 + 5*10 3 + 4*10 2 + 9*10 1 + 1*10 0 .

На основании вышеизложенного можно заключить, что запись одного и того же числа в различных системах счисления будет тем длиннее, чем меньше основание системы счисления. Например, число N, десятичное значение которого равно 2063, в различных системах счисления представляется как

N = 2063 10 = 100000001111 2 =4017 8 = 80F 16 .

При работе с различными сиcтемами счисления полезно помнить соотношения, приведенные в Таблица 1.1 -1 и Таблица 1.1 -1.

Таблица 1.1‑1

Человек в своей практической деятельности наиболее часто использует десятичную систему счисления.Двоичная система счисления является удобной для обработки информации в ЭВМ. Промежуточное место между этими системами занимаетдвоично-десятичная система счисления. Эта система в принципе является десятичной, но отдельные десятичные цифры в ней записываются в виде набора двоичных разрядов. Существуют различные двоично-десятичные системы,

Таблица 1.1‑1

					Десятичный эквивалент	Двоичный эквивалент

которые, отличаются способом представления набором двоичных разрядов десятичных цифр. Наиболее широкое распространение получила двоично-десятичная система 8,4,2,1. Данная система характеризуется тем, что отдельные десятичные цифры в ней представляются их четырех битовым двоичным эквивалентом, как это показано в таблице 1.1-2.Например, десятичное число

в двоично-десятичной системе 8,4,2,1 представляется в виде

1000 0000 0100 0111 0001 0100.

В дальнейшем для сокращения будем использоваться название «двоично-десятичная система», имея в виду двоично-десятичную систему 8,4,2,1.

Лекция 5. Арифметические и логические основы работы компьютера.

2.Правила создания блок­схем.
1. Алгоритмы и способы их описания.
Алгоритм - это точное предписание, которое определяет процесс, ведущий от исходных
данных к требуемому конечному результату.
Пример: правила сложения, умножения, решения алгебраических уравнений, умножения матриц и
т.п.
К сведению: Слово алгоритм происходит от algoritmi, являющегося латинской транслитерацией
арабского имени хорезмийского математика IX века аль­Хорезми. Благодаря латинскому
переводу трактата аль­Хорезми европейцы в XII веке познакомились с позиционной системой
счисления, и в средневековой Европе алгоритмом называлась десятичная позиционная система
счисления и правила счета в ней.
Применительно к ЭВМ алгоритм определяет вычислительный процесс, начинающийся с обработки
некоторой совокупности возможных исходных данных и направленный на получение определенных
этими исходными данными результатов. Термин вычислительный процесс распространяется и на
обработку других видов информации, например, символьной, графической или звуковой.
Основные свойства алгоритмов:
1.Результативность означает возможность получения результата после выполнения
конечного количества операций.
2. Определенность состоит в совпадении получаемых результатов независимо от
пользователя и применяемых технических средств.
3. Массовость заключается в возможности применения алгоритма к целому классу
однотипных задач, различающихся конкретными значениями исходных данных.
4. Дискретность - возможность расчленения процесса вычислений, предписанных
алгоритмом, на отдельные этапы, возможность выделения участков программы с
определенной структурой.
Для задания алгоритма необходимо описать следующие его элементы:
 набор объектов, составляющих совокупность возможных исходных данных,
промежуточных и конечных результатов;
 правило начала;
 правило непосредственной переработки информации (описание последовательности
действий);
 правило окончания;
 правило извлечения результатов.
Способы описания алгоритмов:
Словесно ­ формульный;
структурный или блок ­ схемный;
с помощью графов ­ схем;
с помощью сетей Петри.
При словесно­формульном способе алгоритм записывается в виде текста с формулами по
пунктам, определяющим последовательность действий.
Пример: необходимо найти значение следующего выражения: у = 2а – (х+6).
Словесно­формульным способом алгоритм решения этой задачи может быть записан в
следующем виде:
1. Ввести значения а и х.
2. Сложить х и 6.
3. Умножить a на 2.
4. Вычесть из 2а сумму (х+6).
5. Вывести у как результат вычисления выражения.

При блок ­ схемном описании алгоритм изображается геометрическими фигурами
(блоками), связанными по управлению линиями (направлениями потока) со стрелками. В
блоках записывается последовательность действий.
Преимущества:
1.наглядность: каждая операция вычислительного процесса изображается отдельной
геометрической фигурой.
2.графическое изображение алгоритма наглядно показывает разветвления путей решения
задачи в зависимости от различных условий, повторение отдельных этапов
вычислительного процесса и другие детали.
К сведению: Оформление программ должно соответствовать определенным требованиям. В
настоящее время действует единая система программной документации (ЕСПД), которая
устанавливает правила разработки, оформления программ и программной документации. В
ЕСПД определены и правила оформления блок­схем алгоритмов (ГОСТ 10.002­80 ЕСПД, ГОСТ
10.003­80 ЕСПД).

Операции обработки данных и носители информации изображаются на схеме
соответствующими блоками. Большая часть блоков по построению условно вписана в
прямоугольник со сторонами а и b. Минимальное значение а = 10 мм, увеличение а
производится на число, кратное 5 мм. Размер b=1,5a. Для от дельных блоков допускается
соотношение между а и b, равное 1:2. В пределах одной схемы рекомендуется изображать
блоки одинаковых размеров. Все блоки нумеруются.
Виды блоков:

2.Правила создания блок­схем.
1.
Линии, соединяющие блоки и указывающие последовательность связей между ними,
2.
3.
4.
5.
6.
7.
должны проводится параллельно линиям рамки.
Стрелка в конце линии может не ставиться, если линия направлена слева направо или
сверху вниз.
В блок может входить несколько линий, то есть блок может являться преемником
любого числа блоков.
выходят две линии.
Из блока (кроме логического) может выходить только одна линия.
Логический блок может иметь в качестве продолжения один из двух блоков, и из него
Если на схеме имеет место слияние линий, то место пересечения выделяется точкой. В
случае, когда одна линия подходит к другой и слияние их явно выражено, точку можно не
ставить.
Схему алгоритма следует выполнять как единое целое, однако в случае
необходимости допускается обрывать линии, соединяющие блоки.
Структурные схемы алгоритмов:
Последовательность двух или более операций;
выбор направления;
повторение.

Любой вычислительный процесс может быть представлен как комбинация этих
элементарных алгоритмических структур.
Виды алгоритмов:
линейные;
ветвящиеся;
циклические.
В линейном алгоритме операции выполняются последовательно, в порядке их записи.
Каждая операция является самостоятельной, независимой от каких­либо условий. На схеме
блоки, отображающие эти операции, располагаются в линейной последовательности.
Линейные алгоритмы имеют место, например, при вычислении арифметических выражений,
когда имеются конкретные числовые данные и над ними выполняются соответствующие
условию задачи действия.
Пример линейного алгоритма:
Составить блок – схему алгоритма вычисления арифметического выражения
у=(b2­ас):(а+с)
Алгоритм называется ветвящимся, если для его реализации предусмотрено несколько
направлений (ветвей). Каждое отдельное направление алгоритма обработки данных
является отдельной ветвью вычислений.
Ветвление в программе - это выбор одной из нескольких последовательностей команд при
выполнении программы. Выбор направления зависит от заранее определенного признака,
который может относиться к исходным данным, к
промежуточным или конечным результатам. Признак
характеризует свойство данных и имеет два или более
значений.
Ветвящийся процесс, включающий в себя две ветви,
называется простым, более двух ветвей - сложным.
Сложный ветвящийся процесс можно представить с помощью
простых ветвящихся процессов.
Направление ветвления выбирается логической проверкой, в
результате которой возможны два ответа:
1.«да» - условие выполнено
2.«нет» - условие не выполнено.
Следует иметь в виду, что, хотя на схеме алгоритма должны
быть показаны все возможные направления вычислений в
зависимости от выполнения определенного условия (или

условий), при однократном прохождении программы процесс реализуется только по одной
ветви, а остальные исключаются.
Важно! Любая ветвь, по которой осуществляются вычисления, должна приводить к
завершению вычислительного процесса.
Пример алгоритма с ветвлением:
Составить блок­схему алгоритма с ветвлением для вычисления следующего выражения:
Y = (а+b), если Х <0;
с/b, если Х>0.
Циклическими называются алгоритмы, содержащие циклы.
Цикл - это многократно повторяемый участок алгоритма.
Этапы организации цикла:
подготовка (инициализация) цикла (И);
выполнение вычислений цикла (тело цикла) (Т);
модификация параметров (М);
проверка условия окончания цикла (У).
Порядок выполнения этих этапов, например, Т и М, может изменяться.
Типы циклов:
В зависимости от расположения проверки условия окончания цикла различают циклы с
нижним и верхним окончаниями.
Для цикла с нижним окончанием (рис. а) тело цикла выполняется как минимум один раз, так
как сначала производятся вычисления, а затем проверяется условие выхода из цикла.
В случае цикла с верхним окончанием (рис. б) тело цикла может не выполниться ни разу в
случае, если сразу соблюдается условие выхода.
а б
Рис.Примеры циклических алгоритмов
Виды циклов:

Цикл называется детерминированным, если число повторений тела цикла заранее известно или
определено.
Цикл называется итерационным, если число повторений тела цикла заранее неизвестно, а
зависит от значений параметров (некоторых переменных), участвующих в вычислениях.
Пример циклического алгоритма:
Алгоритм нахождения суммы 10­ти чисел
На ЭВМ могут решаться задачи различного характера, например:
научно­инженерные; разработки системного программного обеспечения; обучения; управления
производственными процессами и т. д.
В процессе подготовки и решения на ЭВМ научно ­инженерных задач можно выделить следующие
этапы:
1.постановка задачи;
2.математическое описание задачи;
3.выбор и обоснование метода решения;
4.алгоритмизация вычислительного процесса;
5.составление программы;
6.отладка программы;
7.решение задачи на ЭВМ и анализ результатов.
В задачах другого класса некоторые этапы могут отсутствовать, например, в задачах разработки
системного программного обеспечения отсутствует математическое описание.
На данном этапе формулируется цель решения задачи и подробно описывается ее содержание.
Анализируются характер и сущность всех величин, используемых в задаче, и определяются
условия, при которых она решается.
Корректность постановки задачи является важным моментом, так как от нее в значительной
степени зависят другие этапы.
Настоящий этап характеризуется математической формализацией задачи, при которой
существующие соотношения между величинами, определяющими результат, выражаются
посредством математических формул.
Так формируется математическая модель явления с определенной точностью, допущениями и
ограничениями. При этом в зависимости от специфики решаемой задачи могут быть использованы
различные разделы математики и других дисциплин.
Математическая модель должна удовлетворять по крайней мере двум требованиям:
реалистичности и реализуемости. Под реалистичностью понимается правильное отражение
моделью наиболее существенных черт исследуемого явления.
Реализуемость достигается разумной абстракцией, отвлечением от второстепенных деталей,
чтобы свести задачу к проблеме с известным решением. Условием реализуемости является

возможность практического выполнения необходимых вычислений за отведенное время при
доступных затратах требуемых ресурсов.
Модель решения задачи с учетом ее особенностей должна быть доведена до решения при помощи
конкретных методов решения. Само по себе математическое описание задачи в большинстве
случаев трудно перевести на язык машины. Выбор и использование метода решения задачи
позволяет привести решение задачи к конкретным машинным операциям. При обосновании выбора
метода необходимо учитывать различные факторы и условия, в том числе точность вычислений,
время решения задачи на ЭВМ, требуемый объем памяти и другие.
Одну и ту же задачу можно решить различными методами, при этом в рамках каждого метода
можно составить различные алгоритмы.
На данном этапе составляется алгоритм решения задачи согласно действиям, задаваемым
выбранным методом решения. Процесс обработки данных разбивается на отдельные относительно
самостоятельные блоки, и устанавливается последовательность выполнения блоков.
Разрабатывается блок­схема алгоритма.
Контрольные вопросы:
1.Поясните понятие «алгоритм».
2.В чем состоит особенность описания алгоритмов с помощью структурной схемы и конструкций
алгоритмического языка?
3.Перечислите типовые алгоритмические конструкции и объясните их назначение.
4.Что такое исполнитель алгоритма? Что или кто может являться исполнителем алгоритма?
5.Поясните алгоритм работы исполнителя на примере робота­манипулятора или автомата
(например, автомата продажи газет).

Основные действия над числами - это сложение и вычитание.

• 1. Сложение двоичных чисел
• 0 + 0 = 0 0+1 = 1 1+0=1
• 1 + 1=0 + единица переноса в старший разряд, т.е. 1 + 1=10 2 .

При сложении двоичных чисел в каждом разряде в соответствии с правилами производится сложение двух цифр слагаемых или двух этих цифр и единицы, если имеется перенос из соседнего младшего разряда. В результате получается цифра соответствующего разряда суммы и, возможно, также единица переноса в старший разряд.

Пример 1. Сложить в двоичной системе

• 2. Вычитание двоичных чисел осуществляется в соответствии со следующими правилами:
• 0-0 = 0 1-0=1 1-1=0 10 2 -1 = 1

При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается единица из следующего, старшего разряда. Эта занимаемая единица равна двум единицам данного младшего разряда. Такое действие производится каждый раз, когда цифра в разряде вычитаемого больше цифры в том же разряде уменьшаемого. Пример 2. Выполните вычитание в двоичной системе следующих чисел:

Операции над положительными и отрицательными числами

Распространенными формами представления чисел со знаками является их представление в прямом, обратном и дополнительном коде.

Последние две формы применяются особенно широко, так как позволяют упростить конструкцию арифметико-логического устройства компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией сложения.

Прямой код числа образуется кодированием знака числа нулем, если число положительно, и единицей, если число отрицательно.

Пример 1. Представьте положительное число 127ю=1111111 2 в прямом коде: 0 1111111

Пример 2. Представьте отрицательное число - 1)0 в прямом коде:

Обратный код числа получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, кроме разряда знака: нули заменяются единицами, а единицы - нулями.

Пример 3. Представьте отоинательное число - 1 ш в обратном коде:

Пример 4. Представьте отпиттятетткнпе хшг.тто - 1 77 10 в обратном коде:

Код модуля числа Обратный код числа

Дополнительный код числа получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду.

Пример 5. Представьте отрицательное число - 1ю в дополнительном коде: 11111111

Пример 6. Представьте отрицательное число -127ю в дополнительном коде:

Сложение чисел в дополнительном коде

Пример 1. Выполните следующую арифметическую операцию «-5+3».

Наши действия в этом случае таковы:

3. Осуществим сложение чисел.

4. Если результат получился отрицательным, то следует инвертировать все разряды числа, кроме знакового, и в младший разряд результата добавить единицу.

Ответ: - 2, следовательно, все действия выполнены верно.

Пример 2. Выполните следующую арифметическую операцию «5 - 3». Выполняя операцию вычитания и представляя отрицательное число в дополнительном коде, можно операцию вычитания заменить сложением.

1. Представим числа в двоичном коде:

2. Отрицательное число следует представить в дополнительном коде. Для этого инвертируем все разряды числа, кроме знакового, и в младший разряд результата добавим единицу.

3. Осуществим сложение чисел.

• 4. Если результат получился положительным, то единицу переноса из знакового разряда отбрасывают.
• 5. Полученное число следует перевести в десятичную систему счисления. Ответ: + 2, следовательно, все действия выполнены верно.

Связь между алгеброй логики и двоичным кодированием

Алгебра логики - раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними. Логическое высказывание - любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Алгебра логики изучает строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Так, например, предложение «8 - четное число» следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение «Москва - столица Бельгии» тоже высказывание, так как оно ложное.

Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием. Высказываниями не являются, например, предложения «студент первого курса» и «мороженое - вкусное». Первое предложение ничего не утверждает о студенте, а второе использует слишком неопределенное понятие «вкусное». Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла. Предложения типа «в городе А более миллиона жителей », «у нее голубые глаза » не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь.

Такие предложения называются высказывательными формами. Высказыва- тельная форма - повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления, с которой работает компьютер, является двоичная система счисления, в которой используются только цифры 1 и 0.

Из этого следует:

• - одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных;
• - на этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.

Данные и команды в компьютере представляются в виде двоичных последовательностей различной структуры и длины. Существуют различные физические способы кодирования двоичной информации. В электронных устройствах компьютера двоичные единицы чаще всего кодируются более высоким уровнем напряжения, чем двоичные нули.

Логический элемент компьютера - это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Простейшими логическими элементами компьютеров являются электронные схемы «И», «ИЛИ», «НЕ», «И-НЕ», «ИЛИ-HE». Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.

Работу логических элементов, как и логических функций, описывают с помощью таблиц истинности. Таблица истинности - это таблица, в которую записаны значения логической функции для каждого из 2 П наборов аргументов на входе. Например, полная таблица истинности выражения с тремя переменными содержит 2 3 =8 строчек, если заданы только 6 из них, то можно найти 2 8 " 6 =2 2 =4 разных логических выражения, удовлетворяющие этим 6 строчкам. Для того чтобы полностью определить логическую функцию, достаточно перечислить либо все наборы, при которых эта функция принимает значения, равные 1, либо все наборы, при которых эта функция принимает значения, равные 0.

Элементарные логические функции и логические элементы

Логические функции, зависящие от одной или двух переменных, называются элементарными. К основным логическим функциям относятся следующие элементарные функции: отрицание, логическое умножение, отрицание от логического умножения, логическое сложение, отрицание от логического сложения, импликация и т.д.

Функция отрицания - это логическая функция от одного аргумента, которая принимает значение 1, если аргумент равен 0, и принимает значение 0, если аргумент равен 1, и называется отрицанием (инверсией) или логической функцией «НЕ».

В обыденной речи мы часто пользуемся словом «НЕ», или словами «НЕВЕРНО, ЧТО», когда хотим что-то отрицать. Пусть, например, кто-то сказал: «На улице холодно». (Обозначим это высказывание А.) Если вы не согласны, вы скажете: «На улице НЕ холодно». Или: «Неверно, что на улице холодно». (Ваше высказывание обозначим В.) Нетрудно заметить, что значения истинности высказываний А и В находятся в определенной связи: если А истинно, то В ложно, и наоборот.

Запись логической функции «НЕ» можно обозначить как F = X, где черта над переменной - признак инверсии, либо как -iX. Логическая функция «НЕ» от одного аргумента описывается таблицей истинности (табл. 8).

Таблица 8. Таблица истинности для логической функции «НЕ»

Логический элемент «НЕ» (инвертор) реализует операцию отрицания. Если на входе этого логического элемента 0, то на выходе 1, а когда на входе 1, на выходе 0.

Условное обозначение инвертора на структурных схемах приведено на рис. 12.

Рис. 12.

Функцией логического умножения п аргументов называется логическая функция, которая принимает значение 1 только в том случае, когда все аргументы равны 1, а 0 - во всех остальных случаях.

Высказывая конъюнкцию, мы утверждаем, что выполняются оба события, о которых идет речь в высказывании. Например, сообщая: «Петровы взяли отпуск за свой счет и уехали в Крым», мы выражаем в своем высказывании свое убеждение в том, что произошли оба этих события.

Функцию логического умножения называют также конъюнкцией или функцией «И». Элементарная функция логического умножения зависит от двух аргументов и описывается следующей таблицей истинности (табл. 9).

Таблица 9. Таблица истинности для логической функции «И»

При записи логической функции «И» возможны следующие варианты: F=X AY;

F=XY, где знаки «Л», «&», « » - знаки, обозначающие операцию логического умножения. Все варианты записи равнозначны.

Рис. 13.

Логический элемент «И» реализует конъюнкцию двух или более логических значений. Условное обозначение на структурных схемах конъюнкции с двумя входами представлено на рис. 13.

Функцией логического сложения п аргументов называется логическая функция, которая принимает значение 0 только в том случае, когда все аргументы равны 0 (т.е. при наборе п нулей), и 1 во всех остальных случаях (т.е. когда хотя бы один аргумент равен единице).

Функцию логического сложения называют также дизъюнкцией или логической функцией «ИЛИ». Сообщая: «Петров смотрит телевизор или смотрит в окно», мы имеем в виду, что хотя бы одно Петров делает. При этом Петров может одновременно смотреть телевизор и смотреть в окно. И в этом случае дизъюнкция будет истинна.

Элементарная дизъюнкция зависит от двух аргументов и описывается следующей таблицей истинности (табл. 10).

Таблица 10. Таблица истинности для логической функции «ИЛИ»

Рис. 14.

При записи логической функции «ИЛИ» возможны следующие варианты:

где знаки «V», «+» обозначают операцию логического сложения.

Логический элемент «ИЛИ» реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Когда хотя бы на одном входе элемента «ИЛИ» будет единица, на ее выходе также будет единица. Условное обозначение на структурных схемах логического элемента «ИЛИ» с двумя входами представлено на рис. 14.

Функция отрицания от логического умножения «И-НЕ» принимает значение 0, когда все аргументы равны 1, и 1 - во всех остальных случаях. Функция отрицания от логического умножения зависит от двух аргументов и описывается следующей таблицей истинности (табл. 11).

Таблица 11. Таблица истинности для функции отрицания от логического умножения

При записи функции отрицания от логического умножения возможны следующие варианты:

Рис. 15.

Логический элемент «И-НЕ» состоит из элемента «И» и инвертора и осуществляет отрицание результата функции И. Условное обозначение на структурных схемах логического элемента «И-НЕ» с двумя входами представлено на рис. 15.

Функция отрицания от логического сложения принимает значение 1, когда все аргументы равны 0, и значение 0 - во всех остальных случаях.

Функция отрицания от логического сложения зависит от двух аргументов и описывается следующей таблицей истинности (табл. 12).

Таблица 12. Таблица истинности для функции отрицания от логического сложения

При записи функции отрицания от логического сложения возможны следующие варианты:

Рис. 16.

Логический элемент «ИЛИ-HE» состоит из элемента «ИЛИ» и инвертора и осуществляет отрицание результата логической функции «ИЛИ». Условное обозначение на структурных схемах логического элемента «ИЛИ-HE» с двумя входами представлено на рис. 16.

В сложных выражениях с использованием логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ» сначала выполняется операция отрицания «НЕ», затем операция конъюнкции «И». В последнюю очередь выполняется операция дизъюнкции «ИЛИ». Для того чтобы изменить указанную последовательность выполнения операций, в выражениях следует использовать скобки. Кроме перечисленных функций, одной из важнейших операций является импликация (следование), которая обозначается -> и описывается соответствующей таблицей (табл. 13).

Таблица 13. Таблица истинности для функции импликации

Импликация - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

Рассмотрим высказывание: «Если завтра будет хорошая погода, то я пойду гулять». Здесь А= Завтра будет хорошая погода и В= Я пойду гулять. Ясно, что человек окажется лжецом лишь в том случае, если погода действительно окажется хорошей, а гулять он не пойдет. Если же погода будет плохой, то независимо от того, пойдет он гулять или нет, во лжи его нельзя обвинить: обещание пойти гулять он давал лишь при условии, что погода будет хорошей.

В обычной речи связка «если..., то» описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться «бессмысленностью» импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: «если на Луне есть вода, то в зоопарке живут тигры», «если клубника - ягода, то в магазине есть хлеб».

Импликация заведомо истинна, если условие А ложно. Другими словами, из неверного условия может следовать все, что угодно. Например, высказывание «Если 2>3, то крокодилы летают» является истинным.

Операция, выражаемая связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно» называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаками, =. Эквиваленция описывается соответствующей таблицей

Таблица 14. Таблица истинности для функции эквиваленции

Например, сообщая: «Я получу паспорт тогда и только тогда, когда мне исполнится 14 лет», человек утверждает не только то, что после того, как ему исполнится 14 лет, он получит паспорт, но и то, что паспорт он сможет получить только после того, как ему исполнится 14 лет.

Таким образом, высказывание XY истинно тогда и только тогда, когда значения X и Y совпадают. Следует учитывать, что рассмотренную нами операцию - импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

а эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

Каким выражением может быть F?

Построим таблицу истинности для всех предложенных в ответе выражений:

Вычислим логические выражения для четырех предложенных ответов. Видим, что совпали значения логических выражений в столбцах X v Y v Z и F, следовательно, правильный ответ 3.

Пример 2. Для какого из указанных значений X истинно высказывание

Видно, что высказывание представляет собой отрицание выражения ((Х>2) -> -> (Х>3)). Оно истинно, когда ((Х>2) -> (Х>3)) ложно. Импликация ложна в единственном случае: левое высказывание истинно (в нашем случае Х>2 истинно для Х=3 и Х=4), а правое ложно (это справедливо для Х=1, Х=2 и Х=3). Поэтому единственный вариант, когда эта импликация ложна (следовательно, исходное выражение истинно), - третий.

Основные законы алгебры логики

В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные (тождественные) преобразования логических выражений. Правила преобразования логических выражений представлены в табл. 15.

Таблица 15. Правила преобразования логических выражений

двойного отрицания	Отрицать отрицание какого-нибудь высказывания - то же, что утверждать это высказывание
переместительный (коммутативный)	А Л В = В Л А	А V В = В V А
сочетательный (ассоциативный)	(А Л В) Л С = А А (В Л С)	(A v В) v С = A v (В v С)
распределительный (дистрибутивный)	(А Л В) V С = (А V В) А (А VC)	Aa(BvC) = AaBvAa С
де Моргана	А В = А" + В отрицание логического произведения эквивалентно логической сумме отрицаний множителей	А + В = А -В отрицание логической суммы эквивалентно логическому произведению отрицаний слагаемых
поглощения	А А (А V В) = А	А V А А В = А
склеивания	(А V В) Л (-А V В) = В	(А А В) v (-А V В) = В
исключения третьего (операция переменной с ее инверсией)	для каждого высказывания имеются лишь две возможности: это высказывание либо истинно, либо ложно.

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Для уменьшения числа скобок считается, что сначала выполняется операция отрицания, затем конъюнкция, и только потом дизъюнкция. В последнюю очередь выполняется импликация и равносильность.

Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной математике. Они служат для упрощения формул и приведения их к определенному виду путем использования основных законов алгебры логики.

Под упрощением формулы, не содержащей операций импликации и эквивален- ции, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая:

• - либо содержит по сравнению с исходной меньшее число операций конъюнкции и дизъюнкции и не содержит отрицаний неэлементарных формул;
• - либо содержит меньшее число вхождений переменных.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), тогда как другие преобразования основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (законы поглощения, склеивания, де Моргана).

Покажем на примерах некоторые приемы и способы, применяемые при упрощении логических формул.

Пример 1.

(законы алгебры логики применяются в следующей последовательности: правило де Моргана, сочетательный закон, правило операций переменной с ее инверсией и правило операций с константами).

Пример 2.

(применяется правило де Моргана, выносится за скобки общий множитель, используется правило операций переменной с ее инверсией).

Пример 3. Какое логическое выражение равносильно выражению

По правилу де Моргана выполним преобразование

Пользуясь правилом двойного отрицания, в итоге получаем: , следовательно, правильный ответ 2.

Контрольные вопросы и задания

• 1. Расскажите о правилах двоичной арифметики.
• 2. Прямой, обратный и дополнительный коды числа - поясните разницу между ними.
• 3. Какая связь существует между двоичным кодированием и алгеброй логики?
• 4. Какие элементарные логические функции и логические элементы вы знаете? Приведите в качестве примеров их таблицы истинности.
• 5. Выполните сложение следующих чисел:

6. Выполните вычитание следующих чисел:

• 7. Опишите связь между алгеброй логики и двоичным кодированием. Приведите примеры логических высказываний.
• 8. Что такое таблица истинности?
• 9. Дайте характеристику логической функции НЕ. Приведите ее таблицу истинности. Придумайте несколько высказываний с использованием функции НЕ.
• 10. Дайте характеристику логической функции И. Приведите ее таблицу истинности. Придумайте несколько высказываний с использованием функции И.
• 11. Дайте характеристику логической функции ИЛИ. Приведите ее таблицу истинности. Придумайте несколько высказываний с использованием функции ИЛИ.
• 12. Расскажите о логической операции «импликация». Приведите ее таблицу истинности.
• 13. Какое логическое высказывание эквивалентно выражению -i (A v -iB д С)?

14. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

Логика, как наука развивается с IV в. до н. э. начиная с трудов Аристотеля. Именно он подверг анализу человеческое мышление, такие его формы, как понятие, суждение, умозаключение.

Логика – (от греч. “логос”, означающего “слово” и “смысл”) – наука о законах, формах и операциях правильного мышления. Ее основная задача заключается в нахождении и систематизации правильных способов рассуждения.

Рис. 1. Основные формы абстрактного мышления

Понятие – это форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов. Всякое понятие имеет содержание и объем. Например, понятие “Черное море” – отражает единичный предмет, “Сиамская кошка” – отражает класс сиамских кошек.

Высказывание (суждение) – некоторое предложение, которое может быть истинно (верно) или ложно. Например, Абакан – столица Хакасии. Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть. Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом.

Умозаключение – логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных суждений получается (выводится) новое суждение. Умозаключения бывают: Дедуктивные (от общего к частному) – Все ученики ходят в школу. Вася – ученик. Вася ходит в школу. Индуктивные (от частного к общему) – Банан и персик – сладкие. Значит, все фрукты сладкие на вкус. Аналогия – Наши коровы едят траву и дают молоко. В Австралии есть поля, коровы едят эту траву. Следовательно, австралийские коровы тоже дают молоко.

В алгебре логики высказывания обозначаются именами логических переменных (А, В, С). Истина, ложь – логические константы.

Логическое выражение – запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА (логическая 1) или ЛОЖЬ (логический 0).

Сложное логическое выражение – логическое выражение, составленное из одного или нескольких простых (или сложных) логических выражений, связанных с помощью логических операций.

	|	следующая лекция ==>
Шестнадцатеричная система счисления используется для компактного представления (на бумаге или на экране) двоичной информации, хранимой в памяти ЭВМ.	|

10) Особенности представления чисел в ЭВМ: прямой, обратный, дополнительный коды.

· прямого кода. Прямой код двоичного числа совпадает по изображению с записью самого числа.

· обратного кода . Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица.

· дополнительного кода . Дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа дополнительный код образуется путем получения обратного кода и добавлением к младшему разряду единицы.

Тема 2. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ

11) Основные логические операции: конъюнкция, дизъюнкция, инверсия:

Конъюнкция(*) * = * = * = * =	Дизъюнкция(+) + = + = + = + =
Инверсия = 1 = 0

Алгебра логика строится на основе следующих аксиом:

1) Переменная может принимать только одно из возможных значений:

x = 0, если x < >1,

x = 1, если x < >0.

2) Инверсия

3) Дизъюнкция

4) Конъюнкция

5) Во избежании побочных записей вводится преоритетность выполнения операций

Инверсия(-)

Конъюнкция(&)

Дизъюнкция (v)

Равенство(=)

РАЗДЕЛ 5. КОМПЬЮТЕРНЫЕ СЕТИ

Тема 14. КЛАССИФИКАЦИЯ СЕТЕЙ. СТРУКТУРА И ПРИНЦИПЫ РАБОТЫ ЛОКАЛЬНЫХ И ГЛОБАЛЬНЫХ СЕТЕ

46. Понятие компьютерной сети

Компьютерная сеть – это система распределенной обработки информации, состоящая как минимум из двух компьютеров, взаимодействующих между собой с помощью специальных средств связи.

47. Виды сетей: локальные, глобальные.

· К локальным сетям (Local Area Network, LAN) обычно относят сети, компьютеры которых сосредоточены на относительно небольших территориях (как правило, в радиусе до 1-2 км). Классическим примером локальных сетей является сеть одного предприятия, расположенного в одном или нескольких стоящих рядом зданиях. Небольшой размер локальных сетей позволяет использовать для их построения достаточно дорогие и высококачественные технологии, что обеспечивает высокую скорость обмена информацией между компьютерами.

· Глобальные сети (Wide Area Network, WAN) – это сети, предназначенные для объединения отдельных компьютеров и локальных сетей, расположенных на значительном удалении (сотни и тысячи километров) друг от друга. Поскольку организация специализированных высококачественных каналов связи большой протяженности является достаточно дорогой, то в глобальных сетях нередко используются уже существующие и изначально не предназначенные для построения компьютерных сетей линии (например, телефонные или телеграфные). В связи с этим скорость передачи данных в таких сетях существенно ниже, чем в локальных.

48. Локальная сеть и ее основные компоненты

Аппаратное обеспечение:

Серверы

Сетевые интерфейсные платы (NIC, Network Interface Card)

Концентраторы

Коммутаторы

Маршрутизаторы (территориально-распределенные сети)

Серверы удаленного доступа (территориально-распределенные сети)

Модемы (территориально-распределенные сети)

Программное обеспечение:

Сетевую операционную систему

Сетевое ПО управления

49. Адресация компьютера в сети

Каждый компьютер в компьютерной сети имеет имя. Для этого служит так

называемая IP (Internet Рго1осо1)-адресация.

IP-адрес - это уникальный номер компьютера в сети. IP-адрес определяет местонахождение узла в сети подобно тому, как адрес дома указывает его расположение в городе. IP-адрес может быть «статический - неизменный» или «динамический - выдается сервером». Каждый IP-адрес состоит из двух частей - идентификатора сети и идентификатора узла. Первый определяет физическую сеть. Он одинаков для всех узлов в одной сети и уникален для каждой из сетей, включенных в объединенную сеть. Идентификатор узла соответствует конкретной рабочей станции, серверу, маршрутизатору или другому TCP/IP-узлу в данной сети. Он должен иметь уникальное значение в данной сети. Каждый узел TCP/IP однозначно определяется по своему логическому IP-адресу. Такой уникальный адрес необходим всем сетевым компонентам, взаимодействующим по TCP/IP.

50. Понятие протокола передачи информации

Протокол - это набор правил и соглашений, используемых при передаче данных.

Протоколы передачи данных - это набор соглашений, который определяет обмен данных между различными программами. Протоколы задают способы передачи сообщений и обработки ошибок в сети, а также позволяют разрабатывать стандарты, не привязанные к конкретной аппаратной платформе.

51. Многоуровневая модель OSI

Сетевая модель OSI (базовая эталонная модель взаимодействия открытых систем) - сетевая модель стека сетевых протоколов OSI/ISO.

Начинается OSI с 7-го уровня , на котором пользовательские приложения обращаются к сети, заканчивается 1-м уровнем, на котором определены стандарты, предъявляемые независимыми производителями к средам передачи данных.

Любой протокол модели OSI должен взаимодействовать либо с протоколами своего уровня, либо с протоколами на единицу выше и/или ниже своего уровня. Взаимодействия с протоколами своего уровня называются горизонтальными, а с уровнями на единицу выше или ниже - вертикальными. Любой протокол модели OSI может выполнять только функции своего уровня и не может выполнять функции

Модель TCP/IP описывает функциональность протоколов, составляющих набор протоколов TCP/IP. Эти протоколы, которые выполняются как на отправляющем, так и на принимающим хостах, взаимодействуют для обеспечения доставки сообщений от одного конца к другому по сети.

TCP (Transmission Control Protocol) – протокол управления передачи данных, сокет с виртуальным каналом.

UDP (Users Datagram Protocol) – сокет дейтаграмм.

IP (Internet Protocol) – маршрутизируемый протокол сетевого уровня стека TCP/IP.

Разбиение сегментов информации на отдельные пакеты, которые могут перемещаться по сети по альтернативным маршрутам.

RIP (Routing Information Protocol) - один из самых простых протоколов маршрутизации. Применяется в небольших компьютерных сетях, позволяет маршрутизаторам динамически обновлять маршрутную информацию (направление и дальность в хопах), получая ее от соседних маршрутизаторов.

ICMP (Internet Control Messages Protocol- протокол межсетевых управляющих сообщений)- сетевой протокол, входящий в стек протоколов TCP/IP. Используется для передачи сообщения об ошибках и других исключительных ситуациях, возникших при передаче данных. Один из важнейших служебных протоколов Интернета. Как правило, используется самой операционной системой (ядром) или служебными программами.

52. Базовые технологии (архитектуры) локальных сетей: Ethernet; Token Ring; Arcnet; FDDI.

Шина (Bus)

Используется один кабель, именуемый магистралью или сегментом, к которому подключены все компьютеры сети. Данные передаются всем компьютерам сети, однако информацию принимает только один компьютер, чей адрес соответствует адресу получателя, присутствующему среди передаваемых данных. В каждый момент времени передачу может вести только один компьютер.

Шина – пассивная топология. Компьютеры не перемещают данные от отправителя к получателю. Если один компьютер выходит из строя, это не скажется на работе сети. В активных топологиях компьютеры регенерируют сигналы и передают их дальше по сети.

Звезда (Star)

Все компьютеры с помощью сегментов кабеля подключаются к центральному устройству. При выходе из строя одного компьютера или одного сегмента кабеля, только этот компьютер не работает в сети. Если центральный компонент выходит из строя, не работает вся сеть.

Кольцо (Ring)

Линейный алгаритм

Команда алгаритма выполняется последовательно от ночала до конца в том порядке в котором они записаны

Разветвляющийся алгоритм

В зависимости от поставленного условия выборочно выполняется одна или другая последовательность команды

В простей­шем случае, это ответ на вопрос «Да» или «Нет». Во всех языках программирования эта возможность реализована при помощи оператора ветвления If......EndIf.

Циклический алгоритм

В алгоритме есть последовательность команд которая выполняется несколько раз. Число повторений может быть задано заранее иди может зависеть от конкретно поставленного условия

Циклический алгоритм может иметь несколько вариантов.

«Для» (For) служит для проведения определенного количества итераций (повторов).

«Пока» (While|Until) выполняется до тех пор, пока соблюдается определенное условие.

«Неопределенный цикл» (Do) выполняется бесконечно или пока внутри его тела не выполнится команда принудительного завершения цикла. Чаще всего задается с условием.

В некоторых языках программирования могут использоваться специализированные циклы: для обхода всех элементов набора объектов (For Each) или для просмотра всех записей в таблице базы данных (Scan).

Во всех случаях построения циклического алгоритма нужно внимательно следить за тем, чтобы при его выполнении происходило корректное завершение. Одна из наиболее распространенных ошибок – создание бесконечного цикла, который не завершается никогда.

Алгоритмы решения типовых задач.

РАЗДЕЛ 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРА

Тема 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В КОМПЬЮТЕРЕ, ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

1) Единица измерения информации:

Количество информации - это мера уменьшения неопределенности - это самое распространенное и разумное определение величины.

Обычно=почти всегда, дела обстоят так:

• 1 бит – такое кол-во информации, которое содержит сообщение, уменьшающее неопределенность знаний в два раза. БИТ- это наименьшая единица измерения информации
• 1байт = 8 бит - (есть 6 и 32 битовый байты тоже)
• 1Кб (килобайт) = 2 10 байт = 1024 байт = 8192 бит (не обязательно так, приставка "кило" иногда может обозначать и 10 3)
• 1Мб (мегабайт) = 2 10 Кб = 1024 Кб = 8 388 608 бит (не обязательно так, приставка "кило" иногда может обозначать и 10 6)
• 1Гб (гигабайт) = 2 10 Мб = 1024 Мб = 8 589 934 592 бит (не обязательно так, приставка "кило" иногда может обозначать и 10 9)

2) Кодирование текстовой информации:

Windows-1251 – введена компанией Microsoft; с учетом широкого распространения операционных систем (ОС) и других программных продуктов этой компании в Российской Федерации она нашла широкое распространение;

КОИ-8 (Код Обмена Информацией, восьмизначный) – другая популярная кодировка российского алфавита, распространенная в компьютерных сетях на территории Российской Федерации и в российском секторе Интернет;

ISO (International Standard Organization – Международный институт стандартизации) – международный стандарт кодирования символов русского языка. На практике эта кодировка используется редко.

Система 16-разрядного кодирования символов называется универсальной – UNICODE . Шестнадцать разрядов позволяет обеспечить уникальные коды для 65 536 символов, что вполне достаточно для размещения в одной таблице символов большинства языков. (используется на данный момент)

3) Кодирование графики:

o Например, чтобы записать на запоминающем устройстве векторное изображение круга, компьютеру достаточно в двоичный код закодировать тип объекта (окружность), координаты его центра на холсте, длину радиуса, толщину и цвет линии, цвет заливки.

o В растровой системе пришлось бы кодировать цвет каждого пикселя. И если размер изображения большой, для его хранения понадобилось бы значительно больше места на запоминающем устройстве.

4) Кодирование звука:

Программное обеспечение компьютера в настоящее время позволяет непрерывный звуковой сигнал преобразовывать в последовательность электрических импульсов, которые можно представить в двоичной форме . В процессе кодирования непрерывного звукового сигнала производится его временная дискретизация.

Декодирование - процесс восстановления изначальной формы представления информации, т. е. обратный процесс кодирования, при котором закодированное сообщение переводится на язык, понятный получателю.

5) Основные понятия системы счисления, алфавит и основные системы:

Система счисления – это способ записи чисел c помощью чисел.

Совокупность всех символов, при помощи которых можно записать любое число в заданной системе счисления называется алфавитом системы счисления.

Символы алфавита системы счисления называются цифрами системы счисления .

Системы счисления делятся на:

Непозиционные системы счисления;

Позиционные системы счисления.

6) Позиционная система счисления:

Позиционными называются системы счисления, в которых значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа.

7) Непозиционная система счисления:

Непозиционными называются системы счисления, в которых значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа. (Римская (II, V, XII)).

8) Правила перевода из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и наоборот:

· Из десятичной в двоичную:

Делим число на 2 до того, пока частное от деления не будет 1. И записываем наоборот (101000)

Делим число на 8 до того, пока частное от деления не будет 1 или меньше 8. И записываем наоборот

· Из десятичной в восьмеричную:

Делим число на 16 до того, пока частное от деления не будет 1 или меньше 16. И записываем наоборот

ТЕПЕРЬ НАОБОРОТ!!:

· Из восьмеричной в двоичную:

· Из восьмеричной в десятичную:

9) Основные арифметические действия в двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной системах счисления.