Сравнение чисел В этом уроке мы закрепим знания по сравнению чисел. Сформулируем правило для сравнения чисел относительно их расположения на координатной прямой. Научимся сравнивать числа при помощи понятия «модуль числа». Выведем правило сравнения чисел. Закрепим знания при выполнении упражнений на сравнение чисел. Конспект урока "Сравнение чисел" Вы знаете, что числа можно сравнивать. Давайте вспомним, какие числа вы уже умеете сравнивать: Следовательно, вы умеете сравнивать любые положительные числа друг с другом и с нулём. А как вы думаете, отрицательные числа можно сравнивать? Конечно! И отрицательные друг с другом, и отрицательные с положительными, и отрицательные с нулём. Сегодня на уроке мы об этом и поговорим. Давайте начертим координатную прямую, отметим на ней начало отсчёта, выберем единичный отрезок и укажем направление. Напомним, на горизонтальной координатной прямой положительные числа изображаются правее нуля, а отрицательные – левее нуля. Возьмём два числа, например, 1 и. Вы знаете, что. Отметим на координатной прямой точки А(1) и В().

Понятно, что точка А на координатной прямой расположена левее точки В. Напомним, правило: на горизонтальной координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой. Соответственно, на горизонтальной координатной прямой точка с меньшей координатой лежит левее точки с большей координатой. А теперь давайте возьмём два отрицательных числа, например, – 2 и – . Как сравнить такие числа? Отметим на координатной прямой точки С(– 2) и D(–). Запишем правило сравнения любых чисел: Из двух чисел больше то, которое изображается на горизонтальной координатной прямой правее. И, соответственно, из двух чисел меньше то, которое изображается на горизонтальной координатной прямой левее. Пример Если рассматривать вертикальную координатную прямую, то в сформулированном правиле сравнения нужно заменить слово «правее» на «выше», а слово «левее» – на «ниже». Сформулируем правило сравнения чисел на вертикальной координатной прямой.

Из двух чисел больше то, которое изображается на вертикальной координатной прямой выше. И, соответственно,из двух чисел меньше то, которое изображается на вертикальной координатной прямой ниже. Хотелось бы сразу уточнить, что все положительные числа больше нуля, а все отрицательные – меньше нуля. Любое отрицательное число меньше положительного. Вообще очень удобно сравнивать числа при помощи понятия «модуль числа». Так как большее из двух положительных чисел на координатной прямой изображается правее, т.е. дальше от начала отсчёта, то это число имеет больший модуль. Запомните, из двух положительных чисел больше то, чей модуль больше. Так как большее из двух отрицательных чисел на координатной прямой изображается правее, т.е. ближе к началу отсчёта, то это число имеет меньший модуль. Запомните, из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше. Чтобы научиться легко сравнивать отрицательные числа, не пользуясь координатной прямой, давайте порассуждаем. Когда теплее – при – 25° или при – 5°?

Сравнение чисел может производиться различными способами:

1) с опорой на порядок называния чисел при счете: число на­званное раньше будет меньшим (это следует из свойства упоря­доченности множества натуральных чисел);

2) с опорой на процесс присчитывания: три и один будет четы­ре, значит три меньше, чем четыре;

3) с опорой на количественные модели сравниваемых чисел:

Для фиксации процесса сравнения вводится знак сравнения.

Следует помнить, что знак сравнения - один, но читается он по-разному в зависимости от желания читающего. В соответствии с тра­дицией чтения текстов в европейских письменностях слева направо первое прочтение знака сравнения обычно проводится слева напра­во: 3 < 4 (три меньше четырех), но эту же запись при желании можно прочитать и справа налево (четыре больше трех), причем для этого не надо переставлять элементы записи таким образом: 4 > 3. Не сто­ит внушать ребенку неверное представление о том, что есть два знака

сравнения, один из которых называется «меньше», а другой - «боль­ше», поскольку это формирует негибкий, конвергентный шаблон вос­приятия, который потом будет мешать ребенку в старшей школе при работе с неравенствами. Полезно предлагать ребенку каждую запись такого вида читать двумя способами, приведенными выше.

7. Число 10

Десять единиц - это десяток.

Десяток является второй счетной единицей в десятичной сис­теме счисления (десятичная система счисления имеет основанием число десять). Десять десятков образуют следующую счетную еди­ницу - сотню.

Число 10 является числом, завершающим первый десяток.

Число 10 является-первым двузначным числом в ряду натураль­ных чисел.

Число 10 является первым целым десятком, с которым знако­мится ребенок.

В дальнейшем на основе понятия десяток ребенок знакомится с разрядным и десятичным составом двузначных и многозначных чисел. Чтобы не вдаваться в терминологические сложности и не перегружать материал ранним введением понятия «разряд», удоб­но целиком провести знакомство с десятком и его записью с помо­щью цифр на предметной модели.

Знакомя ребенка с числом 10 (первым двузначным числом и первым целым десятком), очень важно рассмотреть его с раз­личных позиций: и как новое число в ряду (следующее за девятью и потому подчиняющееся общему принципу построения множе­ства натуральных чисел), и как первое число, в записи которого использовано два символа; и как новую счетную единицу (деся­ток), для чего используют связку десяти палочек в качестве еди­ницы счета: один десяток; два десятка, три десятка...

Не следует торопиться вводить стандартные названия этих де­сятков (двадцать, тридцать и т. п.), полезнее один-два урока ис­пользовать связки по 10 палочек для счета с целью формирования представления о десятке, как счетной единице.

Нуль в такой аналогии символизирует «связку», охватывающее колечко. Для усвоения этой аналогии полезно сразу же предлагать детям и задания обратного вида: покажите на палочках число 30 (три связки), число 40 (четыре связки) и т. п.

Счет десятками (10,20,30,40,50,60,70,80,90) - процесс «тех­нически» аналогичный счету единицами в пределах 10. Полезно научить ребенка присчитывать и отсчитывать десятки так же, как он делал это с единицами. В дальнейшем это умение поможет ре­бенку легче освоить вычислительные приемы сложения и вычита­ния в пределах 100.

При знакомстве ребенка с нумерацией однозначных чисел ре­комендуем педагогу использовать следующие виды заданий:

1) на способ образования каждого следующего числа путем присчитывания единицы к предыдущему:

Как из числа 3 получить 4? (Добавить к трем один.)

2) на определение места числа в ряду:

За каким числом стоит число 5? (За числом 4.) Где место числа 8? (Между числами 7и 9.)

3) на сравнение как двух соседних, так и несоседних чисел:

Сравните числа: 5...4 7.„2

4) на состав числа:

5) на запоминание обратной последовательности числительных в ряду:

После того, как получили полное представление о целых числах, можно говорить об их сравнении. Для этого выясняется, какие числа равные и неравные. Разберутся правила, благодаря которым выясняем, какие из двух неравных больше или меньше. Это правило основано на сравнении натуральных чисел. Будет рассмотрено сравнение трех и более целых чисел, нахождение наименьшего и наибольшего целого числа из заданного множества.

Равные и неравные целые числа

Сравнение двух чисел приводит к тому, что они либо равны либо не равны. Рассмотрим определения.

Определение 1

Два целых числа называют равными, когда их запись полностью совпадает. Иначе они считаются неравными .

Отдельное место для обсуждения имеет 0 и - 0 . Противоположное число - 0 и есть 0 , в этом случает эти два числа равнозначны.

Определение поможет сравнить заданные два числа. Возьмем, например, числа - 95 и - 95 . Их запись полностью совпадает, то есть они считаются равными. Если взять числа 45 и - 6897 , то визуально видно, что они отличаются и не считаются равными. Они имеют разные знаки.

Если числа равные, это записывается при помощи знака « = ». Его расположение идет между числами. Если возьмем числа - 45 и - 45 , то они равны. Запись принимает вид - 45 = - 45 . В случае, если числа неравны, тогда применяется знак « ≠ ». Рассмотрим на примере двух чисел: 57 и - 69 . Эти числа целые, но не равные, так как запись отличается друг от друга.

При сравнивании чисел используется правило модуля числа.

Определение 2

Если два числа имеют одинаковые знаки и их модули равны, то эти два числа считаются равными . Иначе их называют не равными .

Рассмотрим на примере данное определение.

Пример 1

Например, даны два числа - 709 и - 712 . Выяснить, равны ли они.

Видно, что числа имеют одинаковый знак, но это не значит, что они равны. Для сравнения используется модуль числа. По модулю первое число оказалось меньше второго. Они не равны ни по модулю, ни без него.

Значит, делаем вывод, что числа не равны.

Рассмотрим еще пример.

Пример 2

Если взяты два числа 11 и 11 . Они оба равные. По модулю также числа одинаковы. Данные натуральные числа можно считать равными, так как их записи совпадают полностью.

Если получаем неравные числа, тогда необходимо уточнение, какое из них меньше и какое больше.

Сравнение произвольных целых чисел с нулем

В предыдущем пункте было отмечено, что ноль равен сам себе даже со знаком минус. В таком случае равенства 0 = 0 и 0 = - 0 равнозначны и справедливы. При сравнении натуральных чисел имеем, что все натуральные числа больше нуля. Все целые положительные числа натуральные, поэтому и больше 0 .

При сравнении отрицательных чисел с нулем другая ситуация. Все числа, которые меньше нуля, считаются отрицательными. Отсюда делаем вывод, что любое отрицательное число меньше нуля, нуль равен нулю, а любое целое положительное больше нуля.Суть правила заключается в том, что нуль больше отрицательных чисел, но меньше всех положительных.

Например, числа 4 , 57666 , 677848 больше, чем 0 , так как являются положительными. Отсюда следует, что нуль меньше указанных чисел, так как они со знаком + .

При сравнении отрицательных чисел дела обстоят иначе. Число - 1 является целым и меньшим, чем 0 , так как имеет знак минус. Значит, - 50 также меньше нуля. Но ноль больше всех чисел со знаком минус.

Принимаются определенные обозначения для записи при помощи знаков меньше или больше, то есть < и > . Такая запись, как - 24 < 0 имеет значение, что - 24 меньше нуля. Если необходимо записать, что одно число больше, чем другое, применяют знак > , например, 45 > 0 .

Сравнение положительных целых чисел

Все целые положительные числа являются натуральными. Значит, равнение положительных чисел аналогично сравнению натуральных.

Пример 3

Если рассмотреть на примере сравнения 34001 и 5999 . Визуально видим, что первое число имеет 5 знаков, а второе 4 . Отсюда следует, что 5 больше 4 , то есть 34001 больше 5999 .

Ответ: 34001 > 5999 .

Рассмотрим еще один пример.

Пример 4

Если имеется положительные числа 357 и 359 , то видно, что они не равны, хотя оба трехзначные. Производится поразрядное сравнение. Сначала сотен, потом десятков, затем единиц.

Получим, что число 357 меньше 359 .

Ответ: 357 < 359 .

Сравнение целых отрицательных и положительных чисел

Любое целое отрицательное число меньше целого положительного и наоборот.

Сравним несколько чисел и рассмотрим на примере.

Сравнить заданные числа - 45 и 23 . Видим, что 23 – положительное число, а 45 – отрицательное. Заметим, что 23 больше - 45

Если сравнивать - 1 и 511 , то визуально понятно, что - 1 меньше, так как имеет знак минус, а 511 имеет знак + .

Сравнение целых отрицательных чисел

Рассмотрим правило сравнения:

Определение 5

Из двух отрицательных чисел меньшим является то, модуль которого больше и наоборот.

Рассмотрим на примере.

Пример 5

Если сравнивать - 34 и - 67 , то следует произвести сравнение их по модулю.

Получаем, что 34 меньше 67 . Тогда модуль - 67 больше модуля - 34 , значит, что число - 34 больше числа - 67 .

Ответ: - 34 > - 67 .

Рассмотрим целые числа, расположенные на координатной прямой.

Из рассмотренных выше правил получим, что на горизонтальной координатной прямой точки, которым соответствуют большие целые числа, то есть лежат правее тех, которым соответствуют меньшие.

Из чисел - 1 и - 6 видно, что - 6 лежит левее, а следовательно является меньше - 1 . Точка 2 расположена правее - 7 , значит она больше.

Начало отсчета – это ноль. Он больше всех отрицательных и меньше всех положительных. Также и с точками, находящимися на координатной прямой.

Наибольшее отрицательное и наименьшее положительное целое число

В предыдущих пунктах подробно было рассмотрено сравнение двух целых чисел. В данном пункте поговорим о сравнении трех и более чисел, рассмотрим ситуации.

При сравнении трех и более чисел для начала составляются всевозможные пары. Например, рассмотрим для чисел 7 , 17 , 0 и − 2 . Необходимо сравнить их попарно, то есть запись примет вид 7 < 17 , 7 > 0 , 7 > − 2 , 17 > 0 , 17 > − 2 и 0 > − 2 . Результаты могут быть объединены в цепочку неравенств. Запись числе производится в порядке возрастания. В данном случае цепочка будет иметь вид − 2 < 0 < 7 < 17 .

Когда производится сравнение нескольких чисел, то появляется определение наибольшего и наименьшего значения числа.

Определение 6

Число заданного множества считается наименьшим , если оно меньше любого другого из заданных чисел множества.

Определение 7

Число заданного множества является наибольшим , если оно больше любого другого из заданных чисел множества.

Если множество состоит из 6 целых чисел, то запишем это так: − 4 , − 81 , − 4 , 17 , 0 и 17 . Отсюда следует, что − 81 < − 4 = − 4 < 0 < 17 = 17 . Видно, что - 81 – наименьшее число из данного множества, а 17 – наибольшее. Это значит, что эти числа наибольшее и наименьшее только в заданном множестве.

Все числа множества необходимо записывать в порядке возрастания. Цепочка может быть бесконечной, как в данном случае: … , − 5 , − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … . Данный ряд запишется, как … < − 5 < − 4 < − 3 < − 2 < − 1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < … .

Очевидно, что множество целых чисел огромно и бесконечно, поэтому указать наименьшее или наибольшее число невозможно. Это можно сделать только в заданном множестве чисел. Число, расположенное правее на координатной прямой, всегда считается большим, чем то, которое левее.

Множество положительных чисел имеет наименьшее натуральное число, которое равно 1 . Ноль считается наименьшим неотрицательным числом. Все числа, расположенные левее него отрицательные и меньше 0 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Существуют определённые правила сравнения чисел. Рассмотрим следующий пример.

Вчера термометр показывал 15˚ C, а сегодня показывает 20˚ C. Сегодня теплее, чем вчера. Число 15 меньше числа 20, можем записать так: 15 < 20. А, если мы представим эти числа на координатной прямой, то точка со значением 15 будет расположена левее точки со значением 20.

А сейчас рассмотрим отрицательные температуры. Вчера на улице было -12˚ C, а сегодня -8˚ C. Сегодня теплее, чем вчера. Поэтому считают, что число -12 меньше числа -8. На горизонтальной координатной прямой точка со значением -12 расположена левее точки со значением -8. Можем записать так: -12 < -8.

Итак, если сравнивать числа с помощью горизонтальной координатной прямой, из двух чисел меньшим считается то, изображение которого на координатной прямой расположено левее, а большим то, изображение которого расположено правее. Например, у нас на рисунке А > B и C, но B > C.

На координатной прямой положительные числа располагаются справа от нуля, а отрицательные – слева от нуля, всякое положительное число больше нуля, а всякое отрицательное меньше нуля, и поэтому всякое отрицательное число меньше всякого положительного числа.

Значит, первое на что необходимо обратить внимание при сравнении чисел, – это знаки сравниваемых чисел. Число с минусом (отрицательное) всегда меньше положительного.

Если же мы сравниваем два отрицательных числа, то нужно сравнить их модули: большим будет то число, модуль которого меньше, а меньшим то число, модуль которого меньше. Например, -7 и -5. Сравниваемые числа – отрицательные. Сравниваем их модули 5 и 7. 7 больше чем 5, значит -7 меньше чем -5. Если отметить на координатной прямой два отрицательных числа, то левее окажется меньшее число, а большее будет расположено правее. -7 расположено левее -5, значит -7 < -5.

Сравнение обыкновенных дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель.

Можно сравнивать дроби только с одинаковыми знаменателями.

Алгоритм сравнения обыкновенных дробей

1) Если у дроби есть целая часть, сравнение начинаем именно с неё. Большей будет та дробь, у которой целая часть больше. Если целой части у дробей нет или они равны, переходим к следующему пункту.

2) Если дроби с разными знаменателями необходимо привести их к общему знаменателю.

3) Сравниваем числители дробей. Большей будет та дробь, у которой числитель больше.

Обратите внимание, дробь с целой частью всегда будет больше дроби без целой части.

Сравнение десятичных дробей

Десятичные дроби можно сравнивать только с одинаковым количеством цифр (знаков) справа от запятой.

Алгоритм сравнения десятичных дробей

1) Обращаем внимание на количество знаков справа от запятой. Если количество цифр одинаковое, можем приступать к сравнению. Если – нет, дописываем нужное количество нулей в одной из десятичных дробей.

2) Сравниваем десятичные дроби слева направо: целые с целыми, десятые с десятыми, сотые с сотыми и т.д.

3) Большей будет та дробь, в которой одна из частей окажется больше, чем в другой дроби (сравнение начинаем с целых чисел: если целая часть одной дроби больше, значит, и вся дробь больше).

Например, сравним десятичные дроби:

1) Допишем в первой дроби необходимое количество нулей, чтобы уравнять количество знаков после запятой

57,300 и 57,321

2) Сравнивать начинаем слева направо:

целые с целыми: 57 = 57;

десятые с десятыми: 3 = 3;

сотые с сотыми: 0 < 2.

Так как сотые первой десятичной дроби оказались меньше, вся дробь и будет меньше:

57,300 < 57,321

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.