MinorM ij element a ij aniqlovchi n -chi tartib tartib belgilovchi deyiladi ( n-1 ), berilgan determinantdan ushbu element joylashgan satr va ustunni kesib tashlash orqali olingan ( i -chi qator va j ustun).

Algebraik to‘ldiruvchi element a ij ifoda bilan beriladi:

Tartibni belgilovchi omillar n>3 determinantning satr yoki ustun elementlariga kengayishi haqidagi teorema yordamida hisoblanadi:

Teorema. Determinant bu elementlarga mos keladigan algebraik to'ldiruvchilar tomonidan har qanday satr yoki ustun elementlarining mahsuloti yig'indisiga teng, ya'ni.

Misol.

Determinantni satr yoki ustun elementlariga ajratish orqali hisoblang:

Yechim

1. Agar biron-bir satr yoki ustunda noldan boshqa faqat bitta element bo'lsa, determinantni o'zgartirishga hojat yo'q. Aks holda, determinantning parchalanishi haqidagi teoremani qo'llashdan oldin uni quyidagi xossadan foydalanib o'zgartiramiz: agar qator (ustun) elementlariga boshqa qatorning (ustunning) mos keladigan elementlarini ixtiyoriy ko'rsatkichga ko'paytirsak, u holda determinantning qiymati o'zgarmaydi.

3-qatorning elementlaridan 2-qatorning mos keladigan elementlarini ayiramiz.

4-ustunning elementlaridan 3-ustunning mos keladigan elementlarini 2 ga ko'paytiring.

Determinantni uchinchi qatorning elementlariga kengaytiramiz

2. Olingan 3-tartibli determinantni uchburchak qoidasi yoki Sarrus qoidasi yordamida hisoblash mumkin (yuqoriga qarang). Biroq, determinantning elementlari juda katta sonlar, shuning uchun avval uni o'zgartirib, determinantni kengaytiramiz:

Ikkinchi qatorning elementlaridan birinchi qatorning mos keladigan elementlarini 3 ga ko'paytiring.

Birinchi qatorning elementlaridan uchinchi qatorning mos keladigan elementlarini ayiramiz.

1-qatorning elementlariga 2-qatorning mos keladigan elementlarini qo'shamiz

Nolinchi qator determinanti 0 ga teng.

Shunday qilib, tartib determinantlari n>3 hisoblanadi:

· aniqlovchi xossalaridan foydalanib, aniqlovchini uchburchak shaklga o‘tkazish;

· determinantni atamalar yoki ustun elementlariga ajratish, shu bilan uning tartibini pasaytirish.

Matritsa darajasi.

Matritsaning darajasi muhim raqamli xususiyatdir. Matritsaning darajasini topishni talab qiladigan eng tipik muammo chiziqli algebraik tenglamalar tizimining izchilligini tekshirishdir.

Keling, matritsani olaylik A buyurtma p x n . Mayli k - eng kichik sondan oshmaydigan ba'zi natural sonlar p Va n , ya'ni,

Kichik k. tartib matritsalar A tartibli kvadrat matritsaning determinanti deyiladi k x k , matritsa elementlaridan tashkil topgan A , ular oldindan tanlangan k chiziqlar va k ustunlar va matritsa elementlarining joylashuvi A saqlanadi.

Matritsani ko'rib chiqing:

Keling, ushbu matritsaning bir nechta birinchi darajali minorlarini yozamiz. Masalan, matritsaning uchinchi qatori va ikkinchi ustunini tanlasak A , u holda bizning tanlovimiz birinchi tartibli minor det(-4)=-4 ga mos keladi. Boshqacha qilib aytganda, bu minorni olish uchun biz matritsadan birinchi va ikkinchi qatorlarni, shuningdek, birinchi, uchinchi va to'rtinchi ustunlarni o'chirib tashladik. A , qolgan elementdan esa determinant hosil qildilar.

Shunday qilib, matritsaning birinchi darajali minorlari matritsa elementlarining o'zidir.

Keling, bir nechta ikkinchi darajali voyaga etmaganlarni ko'rsatamiz. Ikki qator va ikkita ustunni tanlang. Masalan, birinchi va ikkinchi qatorlarni, uchinchi va to'rtinchi ustunlarni oling. Bu tanlov bilan bizda ikkinchi darajali voyaga yetmagan bor
.

Matritsaning ikkinchi tartibidagi yana bir kichik A kichikdir

Xuddi shunday, matritsaning uchinchi darajali kichiklarini topish mumkin A . Matritsada bo'lgani uchun A Faqat uchta qator bor, keyin hammasini tanlang. Agar biz ushbu qatorlarning dastlabki uchta ustunini tanlasak, biz uchinchi darajali minorni olamiz:

Yana bir uchinchi darajali kichik:

Berilgan matritsa uchun A uchinchidan yuqori tartibli voyaga etmaganlar yo'q, chunki

Qancha voyaga etmaganlar bor? k -Voy-buy matritsa tartibi A buyurtma p x n ? Juda ko'p!

Voyaga etmaganlar soni k formula yordamida hisoblash mumkin:

Matritsa darajasi matritsaning nolga teng bo'lmagan minorining eng yuqori tartibi deyiladi.

Matritsa darajasi A sifatida belgilanadi daraja (A). Matritsa darajasi va minor matritsasining ta'riflaridan xulosa qilishimiz mumkinki, nol matritsaning darajasi nolga teng, nolga teng bo'lmagan matritsaning darajasi esa birdan kam emas.

Shunday qilib, matritsaning darajasini topishning birinchi usuli voyaga etmaganlarni ro'yxatga olish usuli . Bu usul matritsaning darajasini aniqlashga asoslangan.

Keling, matritsaning darajasini topishimiz kerak A buyurtma p x n .

Agar matritsaning kamida bitta elementi noldan farq qiladigan bo'lsa, u holda matritsaning darajasi kamida bittaga teng bo'ladi (chunki nolga teng bo'lmagan birinchi darajali minor mavjud).

Keyinchalik biz ikkinchi darajali voyaga etmaganlarga qaraymiz. Agar barcha ikkinchi darajali kichiklar nolga teng bo'lsa, matritsaning darajasi birga teng. Agar ikkinchi darajali kamida bitta nolga teng bo'lmagan minor bo'lsa, biz uchinchi darajali kichiklarni sanab o'tamiz va matritsaning darajasi kamida ikkitaga teng.

Xuddi shunday, agar barcha uchinchi darajali kichiklar nolga teng bo'lsa, matritsaning darajasi ikkitadir. Agar noldan tashqari kamida bitta uchinchi darajali minor bo'lsa, u holda matritsaning darajasi kamida uchta bo'ladi va biz to'rtinchi darajali kichiklarni sanashga o'tamiz.

E'tibor bering, matritsaning darajasi eng kichik raqamdan oshmasligi kerak p Va n .

Misol.

Matritsaning darajasini toping
.

Yechim.

1. Matritsa nolga teng bo'lmagani uchun uning darajasi birdan kam emas.

2. Ikkinchi tartibli voyaga etmaganlardan biri
noldan farq qiladi, shuning uchun matritsaning darajasi A kamida ikkita.

3. Uchinchi tartibdagi voyaga etmaganlar

Barcha uchinchi tartibli voyaga etmaganlar nolga teng. Shunday qilib, matritsaning darajasi ikkitadir.

daraja (A) = 2.

Matritsaning darajasini topishning boshqa usullari mavjud bo'lib, ular kamroq hisoblash ishlari bilan natijani olish imkonini beradi.

Shunday usullardan biri chekka minor usuli . Ushbu usul yordamida hisob-kitoblar biroz qisqartiriladi, ammo ular hali ham juda og'ir.

Matritsaning darajasini topishning yana bir usuli bor - elementar transformatsiyalar yordamida (Gauss usuli).

Quyidagi matritsa transformatsiyalari deyiladi boshlang'ich :

· matritsa satrlarini (yoki ustunlarini) qayta tartiblash;

· matritsaning istalgan satrining (ustunining) barcha elementlarini ixtiyoriy songa ko‘paytirish k, noldan farqli;

· istalgan satr (ustun) elementlariga matritsaning boshqa qatori (ustunlari) mos keladigan elementlarni ixtiyoriy songa ko‘paytirish k.

B matritsa A matritsaga ekvivalent deyiladi, Agar IN dan olingan A chekli sonli elementar transformatsiyalardan foydalanish. Matritsaning ekvivalentligi belgi bilan ko'rsatilgan « ~ » , ya'ni yozilgan A~B.

Elementar matritsalarni o'zgartirishlar yordamida matritsaning darajasini topish quyidagi bayonotga asoslanadi: agar matritsa IN matritsadan olingan A chekli sonli elementar transformatsiyalar yordamida, keyin r ang(A) = jiringladi(B) , ya'ni. ekvivalent matritsalarning darajalari teng .

Elementar o'zgartirishlar usulining mohiyati biz topishimiz kerak bo'lgan matritsani elementar transformatsiyalar yordamida trapezoidalga (muayyan holatda, yuqori uchburchakka) kamaytirishdir.

Ushbu turdagi matritsalar darajasini topish juda oson. Bu kamida bitta nolga teng bo'lmagan elementni o'z ichiga olgan qatorlar soniga teng. Va elementar o'zgarishlarni amalga oshirishda matritsaning darajasi o'zgarmasligi sababli, natijada olingan qiymat asl matritsaning darajasi bo'ladi.

Misol.

Elementar o'zgartirishlar usulidan foydalanib, matritsaning darajasini toping

.

Yechim.

1. Matritsaning birinchi va ikkinchi qatorlarini almashtiring A , elementdan beri a 11 = 0, va element a 21 nolga teng bo'lmagan:

~

Olingan matritsada element bittaga teng. Aks holda, birinchi qatorning elementlarini ga ko'paytirish kerak edi. Birinchi ustundan boshqa barcha elementlarni nolga tenglashtiramiz. Ikkinchi qatorda allaqachon nol bor, uchinchi qatorga biz birinchisini qo'shamiz, 2 ga ko'paytiriladi:

Olingan matritsadagi element noldan farq qiladi. Ikkinchi qatorning elementlarini ko'paytiring

Olingan matritsaning ikkinchi ustuni kerakli shaklga ega, chunki element allaqachon nolga teng.

Chunki , A , keyin uchinchi va to'rtinchi ustunlarni almashtiring va natijada olingan matritsaning uchinchi qatorini quyidagicha ko'paytiring:

Asl matritsa trapezoidalga qisqartiriladi, uning darajasi kamida bitta nolga teng bo'lmagan elementni o'z ichiga olgan qatorlar soniga teng. Bunday uchta qator mavjud, shuning uchun asl matritsaning darajasi uchtadir. r ang(A)=3.

Teskari matritsa.

Keling, matritsaga ega bo'lamiz A .

Matritsa A matritsasiga teskari , matritsa deyiladi A-1 shu kabi A -1 A = A A -1 = E .

Teskari matritsa faqat kvadrat matritsa uchun mavjud bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, uning o'zi asl matritsa bilan bir xil o'lchamda.

Kvadrat matritsa teskari matrisaga ega bo'lishi uchun u yagona bo'lmagan bo'lishi kerak (ya'ni. Δ ≠0 ). Bu holat ham borliq uchun yetarli A-1 matritsaga A . Shunday qilib, har bir yagona bo'lmagan matritsaning teskari va bundan tashqari, noyob matritsasi bor.

Matritsa misolida teskari matritsani topish algoritmi A :

1. Matritsaning aniqlovchisini toping. Agar Δ ≠0 , keyin matritsa A-1 mavjud.

2. Dastlabki matritsa elementlarining algebraik qo‘shimchalaridan B matritsasini tuzamiz. A . Bular. matritsada IN element i - oh chiziqlar va j --chi ustun algebraik to'ldiruvchi bo'ladi A ij element a ij original matritsa.

3. Matritsani ko‘chiring IN va olamiz B t .

4. Olingan matritsani ko‘paytirish yo‘li bilan teskari matritsani toping B t raqam uchun .

Misol.

Berilgan matritsa uchun teskarisini toping va tekshiring:

Yechim

Teskari matritsani topish uchun avval tasvirlangan algoritmdan foydalanamiz.

1. Teskari matritsa mavjudligini bilish uchun ushbu matritsaning determinantini hisoblash kerak. Keling, uchburchak qoidasidan foydalanamiz:

Matritsa yagona emas, shuning uchun u teskari.

Barcha matritsa elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarini topamiz:

Topilgan algebraik qo'shimchalardan matritsa tuziladi:

va transpozitsiya qilinadi

Olingan matritsaning har bir elementini uning determinantiga bo'lib, biz asl matritsaga teskari matritsani olamiz:

Tekshirish natijada olingan matritsani asl matritsaga ko'paytirish orqali amalga oshiriladi. Agar teskari matritsa to'g'ri topilsa, ko'paytirish natijasi identifikatsiya matritsasi bo'ladi.

Berilgan matritsa uchun teskari matritsani topish uchun siz Gauss usulidan foydalanishingiz mumkin (albatta, avvalo matritsa teskari ekanligiga ishonch hosil qilishingiz kerak), men uni mustaqil ish uchun qoldiraman.

Determinantning har qanday elementining minori deyiladi ikkinchisining aniqlovchisi

berilgan determinantdan ushbu elementni o'z ichiga olgan satr va ustunni o'chirish orqali olingan tartib. Element uchun juda kichik

element uchun:

Determinantning har qanday elementining algebraik to'ldiruvchisi faktor bilan olingan ushbu elementning minoridir, bu erda i - elementning qator raqami, j - ustun raqami. Shunday qilib, elementning algebraik to'ldiruvchisi:

Misol. Algebraik to‘ldiruvchilarni toping determinantning elementlari uchun.

Teorema. Aniqlovchi uning har qanday ustunlari yoki satrlari elementlari va ularning algebraik to'ldiruvchilari ko'paytmalari yig'indisiga teng.

Boshqacha qilib aytganda, determinant uchun quyidagi tengliklar amal qiladi.

Bu tengliklarning isboti algebraik qo’shimchalarni determinant elementlari orqali ifodalari bilan almashtirishdan iborat bo’lib, (3) ifodani olamiz. Buni o'zingiz qilishingiz tavsiya etiladi. Determinantni oltita formuladan biri yordamida almashtirish determinantni tegishli ustun yoki satr elementlariga parchalash deyiladi. Ushbu kengaytmalar determinantlarni hisoblash uchun ishlatiladi.

Misol. Determinantni ikkinchi ustunning elementlariga kengaytirib hisoblang.

Uchinchi tartibli determinantni satr yoki ustun elementlariga kengaytirish teoremasidan foydalanib, uchinchi tartibli determinantlar uchun 1-8 xossalarning haqiqiyligini isbotlash mumkin. Ushbu bayonotning to'g'riligini tekshirish uchun mo'ljallangan. Determinantlarning xossalari va determinantni ustun yoki satr elementlariga parchalanishi haqidagi teorema aniqlovchilarni hisoblashni soddalashtirish imkonini beradi.

Misol. Determinantni hisoblang.

Ikkinchi qator elementlarining “2” umumiy koeffitsientini, keyin esa uchinchi ustun elementlarining bir xil umumiy koeffitsientini hisoblaymiz.

Birinchi qatorning elementlarini ikkinchi qatorning mos keladigan elementlariga, keyin uchinchi qatorga qo'shamiz.

Determinantni birinchi ustun elementlariga kengaytiramiz.

Voyaga etmagan matritsalar

Kvadrat berilsin matritsa A, n - tartib. Kichik ba'zi element aij, n-tartibli matritsaning determinanti deyiladi aniqlovchi(n - 1) - tanlangan aij elementi chorrahasida joylashgan satr va ustunni kesib o'tish orqali asl nusxadan olingan tartib. Mij ​​tomonidan belgilanadi.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik matritsaning determinanti 3 - uning tartibi:
Minorlar va algebraik to'ldiruvchilar, 3-matritsaning determinanti uning tartibi, keyin ta'rifga ko'ra kichik, kichik a12 elementiga mos keladigan M12 bo'ladi aniqlovchi:Shu bilan birga, yordam bilan voyaga etmaganlar hisoblash vazifasini osonlashtirishi mumkin matritsaning determinanti. Biz uni yoyishimiz kerak matritsa determinanti bir qator bo'ylab va keyin aniqlovchi ularning kichiklari bo'yicha ushbu chiziqning barcha elementlari yig'indisiga teng bo'ladi. Parchalanish matritsaning determinanti 3 - uning tartibi quyidagicha ko'rinadi:

, mahsulot oldidagi belgi (-1) n, bu erda n = i + j.

Algebraik qo'shimchalar:

Algebraik to‘ldiruvchi aij elementi uning deyiladi kichik, agar yig'indisi (i + j) juft son bo'lsa, "+" belgisi bilan, bu yig'indi toq son bo'lsa, "-" belgisi bilan olinadi. Aij tomonidan belgilangan.
Aij = (-1)i+j × Mij.

Keyin yuqorida ko'rsatilgan mulkni qayta shakllantirishimiz mumkin. Matritsa determinanti ma'lum bir qator (satr yoki ustun) elementlarining mahsuloti yig'indisiga teng matritsalar ularning mos kelishiga algebraik qo'shimchalar. Misol.

Bu mavzuda algebraik to`ldiruvchi va minor tushunchalarini ko`rib chiqamiz. Materialning taqdimoti "Matritsalar. Matritsalar turlari. Tayanch atamalar" mavzusida tushuntirilgan atamalar asosida amalga oshiriladi. Determinantlarni hisoblash uchun bizga ba'zi formulalar ham kerak bo'ladi. Ushbu mavzu kichik va algebraik to'ldiruvchilarga tegishli juda ko'p atamalarni o'z ichiga olganligi sababli, men materialni boshqarishni osonlashtirish uchun qisqacha xulosa qo'shaman.

$a_(ij)$ elementining kichik $M_(ij)$

$M_(ij)$ element$a_(ij)$ matritsalari $A_(n\times n)$ $A$ matritsasidan i-satr va j-ustunni (yaʼni chorrahadagi satr va ustunni) oʻchirish orqali olingan matritsaning determinantini nomlaydi. qaysi element joylashgan $a_(ij)$).

Misol uchun, to'rtinchi tartibli kvadrat matritsani ko'rib chiqing: $A=\left(\begin(massiv) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84 \\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(massiv) \o'ng)$. $a_(32)$ elementining minorini topamiz, ya'ni. $M_(32)$ topamiz. Birinchidan, minor $M_(32)$ ni yozamiz va keyin uning qiymatini hisoblaymiz. $M_(32)$ tuzish uchun $A$ matritsasidan uchinchi qator va ikkinchi ustunni oʻchirib tashlaymiz (u uchinchi qator va ikkinchi ustun kesishmasida $a_(32)$ elementi joylashgan). ). Biz yangi matritsani olamiz, uning determinanti talab qilinadigan minor $M_(32)$:

Ushbu kichikni hisoblash mavzusidagi №2 formuladan foydalanib hisoblash oson:

$$ M_(32)=\chap| \begin(massiv) (ccc) 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end(massiv) \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3) \cdot 5\cdot 3+2\cdot (-5)\cdot 9-9\cdot 11\cdot 3-(-3)\cdot 2\cdot 58-5\cdot (-5)\cdot 1=579. $$

Demak, $a_(32)$ elementining minori 579 ga teng, ya'ni. $M_(32)=579$.

Ko'pincha adabiyotda "minor matritsa elementi" iborasi o'rniga "minor determinant elementi" topiladi. Mohiyat bir xil bo'lib qoladi: $a_(ij)$ elementining minorini olish uchun dastlabki determinantdan i-qator va j-ustunni kesib tashlash kerak. Qolgan elementlar yangi determinantga yoziladi, bu $a_(ij)$ elementining minoridir. Masalan, $\left| determinantining $a_(12)$ elementining minorini topamiz. \begin(massiv) (ccc) -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end(massiv) \right|$. Kerakli minor $M_(12)$ ni yozish uchun berilgan determinantdan birinchi qator va ikkinchi ustunni oʻchirishimiz kerak:

Ushbu minorning qiymatini topish uchun biz ikkinchi va uchinchi darajali determinantlarni hisoblash mavzusidagi №1 formuladan foydalanamiz:

$$ M_(12)=\chap| \begin(massiv) (cc) 9 & -5\\ 4 & 7 \end(massiv) \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. $$

Demak, $a_(12)$ elementining minori 83 ga teng, ya'ni. $M_(12)=83$.

$a_(ij)$ elementining $A_(ij)$ algebraik toʻldiruvchisi

$A_(n\times n)$ kvadrat matritsasi berilsin (ya'ni, n-tartibli kvadrat matritsasi).

Algebraik to‘ldiruvchi$A_(ij)$ element$A_(n\times n)$ matritsasining $a_(ij)$ miqdori quyidagi formula boʻyicha topiladi: $$ A_(ij)=(-1)^(i+j)\cdot M_(ij), $$

bu yerda $M_(ij)$ $a_(ij)$ elementining minoridir.

$A=\left(\begin(massiv) (cccc) 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \ matritsasining $a_(32)$ elementining algebraik toʻldiruvchisi topilsin. \ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end(massiv) \o'ng)$, ya'ni. $A_(32)$ topamiz. Biz avval kichik $M_(32)=579$ ni topdik, shuning uchun olingan natijadan foydalanamiz:

Odatda, algebraik to'ldiruvchilarni topishda minor alohida hisoblanmaydi, shundan keyingina to'ldiruvchining o'zi. Kichik eslatma o'tkazib yuborilgan. Masalan, agar $A=\left(\begin(massiv) (ccc) -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end boʻlsa, $A_(12)$ ni topamiz. (massiv) \right)$. Formulaga ko'ra $A_(12)=(-1)^(1+2)\cdot M_(12)=-M_(12)$. Biroq, $M_(12)$ olish uchun $A$ matritsasining birinchi qatori va ikkinchi ustunini kesib tashlash kifoya, shuning uchun nega voyaga yetmaganlar uchun qo‘shimcha belgi kiritish kerak? $A_(12)$ algebraik to'ldiruvchining ifodasini darhol yozamiz:

$A_(m\times n)$ matritsaning k-tartibining kichiki

Agar oldingi ikki paragrafda biz faqat kvadrat matritsalar haqida gapirgan bo'lsak, bu erda biz to'rtburchaklar matritsalar haqida ham gaplashamiz, ulardagi qatorlar soni ustunlar soniga teng bo'lishi shart emas. Demak, $A_(m\times n)$ matritsasi berilsin, ya'ni. m satr va n ta ustundan iborat matritsa.

Kichik k. tartib$A_(m\times n)$ matritsasi - elementlari $A$ matritsasining k satri va k ustunlari kesishmasida joylashgan determinant ($k≤ m$ va $k≤ n$ deb taxmin qilinadi).

Masalan, ushbu matritsani ko'rib chiqing:

$$A=\left(\begin(massiv) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(massiv) \oʻng) $$

Keling, buning uchun uchinchi darajali minorni yozaylik. Uchinchi darajali minorni yozish uchun biz ushbu matritsaning istalgan uchta satri va uchta ustunini tanlashimiz kerak. Masalan, No 2, No 4, No 6 qatorlarni va No 1, No 2, No 4 ustunlarni oling. Ushbu satr va ustunlar kesishmasida kerakli minorning elementlari joylashadi. Rasmda kichik elementlar ko'k rangda ko'rsatilgan:

$$ \left(\begin(massiv) (cccc) -1 & 0 & -3 & 9 \\ \boldblue(2) & \boldblue(7) & 14 & \boldblue(6) \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ \boldblue(0) & \boldblue(1) & 19 & \boldblue(8)\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ \boldblue(5) & \boldblue(3) & -21 & \boldblue(9)\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end(massiv) \o'ng);\; M=\left|\begin(massiv) (ccc) 2 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 8 \\ 5 & 3 & 9 \end(massiv) \o'ng|. $$

Birinchi tartibli voyaga etmaganlar bir qator va bitta ustunning kesishmasida topiladi, ya'ni. birinchi tartibli kichiklar berilgan matritsaning elementlariga teng.

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ matritsaning k-tartib minori deyiladi. asosiy, agar berilgan minorning bosh diagonalida faqat $A$ matritsasining asosiy diagonal elementlari mavjud boʻlsa.

Eslatib oʻtaman, asosiy diagonal elementlar matritsaning indekslari teng boʻlgan elementlari hisoblanadi: $a_(11)$, $a_(22)$, $a_(33)$ va boshqalar. Masalan, yuqorida ko'rib chiqilgan $A$ matritsasi uchun bunday elementlar $a_(11)=-1$, $a_(22)=7$, $a_(33)=18$, $a_(44)= bo'ladi. 8$. Ular rasmda yashil rang bilan ta'kidlangan:

$$\left(\begin(massiv) (cccc) \boldgreen(-1) & 0 & -3 & 9\\ 2 & \boldgreen(7) & 14 & 6 \\ 15 & -27 & \boldgreen(18) ) & 31\\ 0 & 1 & 19 & \boldgreen(8)\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end( massiv)\o'ng)$$

Masalan, agar $A$ matritsasida 1 va 3 raqamli qator va ustunlarni kesib tashlasak, u holda ularning kesishmasida ikkinchi tartibli minor elementlari bo'ladi, ularning asosiy diagonalida faqat diagonal elementlar bo'ladi. $A$ matritsasining (elementlari $a_(11) =-1$ va $a_(33)=18$ $A$ matritsasi). Shunday qilib, biz ikkinchi darajali asosiy kichikni olamiz:

$$ M=\left|\begin(massiv) (cc) \boldgreen(-1) & -3 \\ 15 & \boldgreen(18) \end(massiv) \o'ng| $$

Tabiiyki, biz boshqa satr va ustunlarni, masalan, 2 va 4 raqamlarini olishimiz mumkin va shu bilan ikkinchi darajali boshqa asosiy minorni olishimiz mumkin.

$A_(m\times n)$ matritsasining k-tartibidagi ba'zi bir kichik $M$ nolga teng bo'lmasin, ya'ni. $M\neq 0$. Bunday holda, tartibi k dan yuqori bo'lgan barcha voyaga etmaganlar nolga teng. Keyin kichik $M$ chaqiriladi Asosiy, va asosiy minorning elementlari joylashgan qator va ustunlar deyiladi asosiy qatorlar Va asosiy ustunlar.

Masalan, quyidagi matritsani ko'rib chiqing:

$$A=\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(massiv) \o'ng) $$

Elementlari No1, No2, No3 qatorlar va No1, No3, No4 ustunlar kesishmasida joylashgan ushbu matritsaning minorini yozamiz. Biz uchinchi darajali minorni olamiz (uning elementlari $A$ matritsasida binafsha rang bilan ajratilgan):

$$ \left(\begin(massiv) (ccc) \boldpurple(-1) & 0 & \boldpurple(3) & \boldpurple(0) & 0 \\ \boldpurple(2) & 0 & \boldpurple(4) & \boldpurple(1) & 0\\ \boldpurple(1) & 0 & \boldpurple(-2) & \boldpurple(-1) & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(massiv) \ o'ng);\; M=\left|\begin(massiv) (ccc) -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(massiv) \o'ng|. $$

Ikkinchi va uchinchi darajali determinantlarni hisoblash mavzusidagi 2-formuladan foydalanib, bu minorning qiymatini topamiz:

$$ M=\chap| \begin(massiv) (ccc) -1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end(massiv) \right|=4+3+6-2=11. $$

Demak, $M=11\neq 0$. Keling, tartibi uchtadan yuqori bo'lgan har qanday voyaga etmaganni tuzishga harakat qilaylik. To'rtinchi tartibli minor qilish uchun biz to'rtinchi qatorni ishlatishimiz kerak, ammo bu qatorning barcha elementlari nolga teng. Shuning uchun har qanday to'rtinchi darajali minor nol qatoriga ega bo'ladi, ya'ni barcha to'rtinchi darajali minorlar nolga teng. Biz beshinchi va undan yuqori darajali voyaga etmaganlarni yarata olmaymiz, chunki $A$ matritsasi faqat 4 qatorga ega.

Biz nolga teng bo'lmagan uchinchi tartibli minorni topdik. Bunday holda, yuqori darajadagi barcha kichiklar nolga teng, shuning uchun biz ko'rib chiqqan kichik asosiy hisoblanadi. Bu minorning elementlari joylashgan $A$ matritsa satrlari (birinchi, ikkinchi va uchinchi) asosiy satrlar, $A$ matritsasining birinchi, uchinchi va toʻrtinchi ustunlari esa asosiy ustunlar hisoblanadi.

Bu misol, albatta, ahamiyatsiz, chunki uning maqsadi asosiy kichikning mohiyatini aniq ko'rsatishdir. Umuman olganda, bir nechta asosiy voyaga etmaganlar bo'lishi mumkin va odatda bunday kichikni qidirish jarayoni ancha murakkab va kengroqdir.

Keling, yana bir tushunchani kiritaylik - chegaralangan kichik.

$A_(m\times n)$ matritsasining bir necha k-tartibli minor $M$lari k satr va k ustun kesishmasida joylashgan boʻlsin. Keling, ushbu satr va ustunlar to'plamiga yana bir qator va ustun qo'shamiz. Olingan (k+1) tartibli minor deyiladi chekka kichik kichik $M$ uchun.

Masalan, quyidagi matritsani ko'rib chiqamiz:

$$A=\left(\begin(massiv) (cccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & - 9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(massiv) \oʻng) $ $

Ikkinchi tartibli minorni yozamiz, uning elementlari No2 va No5 qatorlar, shuningdek, No2 va No4 ustunlar kesishmasida joylashgan. Ushbu elementlar matritsada qizil rang bilan ajratilgan:

$$ \left(\begin(massiv) (ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred(-17) & -3 & \boldred(19) & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & \boldred(12) & 20 & \boldred(21) & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(massiv) \o'ng);\; M=\left|\begin(massiv) (ccc) -17 & 19 \\ 12 & 21 \end(massiv) \right|. $$

Minor $M$ elementlari yotadigan qatorlar to‘plamiga yana 1-qatorni, ustunlar to‘plamiga esa 5-ustunni qo‘shamiz. Biz yangi kichik $M"$ ni olamiz (allaqachon uchinchi tartibli), uning elementlari 1, № 2, № 5 qatorlar va 2, № 4, № 5 ustunlar kesishmasida joylashgan. 5. Rasmdagi kichik $M$ elementlari qizil rang bilan ajratilgan va biz minor $M$ga qoʻshadigan elementlar koʻk rangda:

$$ \left(\begin(massiv) (ccccc) -1 & \boldblue(2) & 0 & \boldblue(-2) & \boldblue(-14)\\ 3 & \boldred(-17) & -3 & \boldred(19) & \boldblue(29)\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & \boldred(12) & 20 & \boldred(21) & \boldblue(54)\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(massiv) \o'ng);\; M"=\left|\begin(massiv) (ccc) 2 & -2 & -14 \\ -17 & 19 & 29 \\ 12 & 21 & 54 \end(massiv) \o'ng|. $$

Minor $M"$ kichik $M$ uchun chegaralovchi minordir. Xuddi shunday, minor $M$ elementlari yotadigan qatorlar toʻplamiga №4 qator va toʻplamga №3 ustun qoʻshiladi. ustunlar, biz kichik $M""$ olamiz (uchinchi tartibli minor):

$$ \left(\begin(massiv) (ccccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred(-17) & \boldblue(-3) & \boldred(19) & 29 \\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & \boldblue(11) & \boldblue(19) & \boldblue(-20) & -98\\ 6 & \boldred(12) & \ boldblue(20) & \boldred(21) & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(massiv) \o'ng);\; M""=\left|\begin(massiv) (ccc) -17 & -3 & 19 \\ 11 & 19 & -20 \\ 12 & 20 & 21 \end(massiv) \o'ng|. $$

Kichik $M""$ ham kichik $M$ uchun chegaradosh kichikdir.

$A_(n\times n)$ matritsaning k-tartibining kichiki. Qo'shimcha kichik. Kvadrat matritsaning minoriga algebraik to'ldiruvchi.

Yana kvadrat matritsalarga qaytaylik. Keling, qo'shimcha voyaga etmaganlik tushunchasini kiritaylik.

$A_(n\times n)$ matritsasining k-tartibdagi ma'lum bir minor $M$ berilsin. Elementlari $A$ matritsasidan minor $M$ boʻlgan satr va ustunlar oʻchirilgandan soʻng olinadigan (n-k)-tartibdagi determinant minor deyiladi, kichikga to'ldiruvchi$M$.

Masalan, beshinchi tartibli kvadrat matritsani ko'rib chiqing:

$$ A=\left(\begin(massiv)(cccc) -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & - 9 & 41\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(massiv) \oʻng) $$

No1 va 3-qatorlarni, shuningdek, No2 va 5-ustunlarni tanlaymiz. Ushbu satr va ustunlar kesishmasida ikkinchi tartibli kichik $M$ elementlari bo'ladi. Ushbu elementlar $A$ matritsasida yashil rang bilan ajratilgan:

$$ \left(\begin(massiv)(cccc) -1 & \boldgreen(2) & 0 & -2 & \boldgreen(-14)\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & \boldgreen(-6) & 8 & -9 & \boldgreen(41)\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end(massiv)\ o'ng);\; M=\left|\begin(massiv)(cc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(massiv) \right|. $$

Endi $A$ matritsasidan 1 va 3-qatorlarni hamda 2- va 5-ustunlarni olib tashlaymiz, ularning kesishmasida kichik $M$ elementlari (oʻchirilgan satr va ustunlar elementlari) joylashgan. quyidagi rasmda qizil rangda ko'rsatilgan). Qolgan elementlar kichik $M"$ ni tashkil qiladi:

$$ \left(\begin(massiv)(cccc) \boldred(-1) & \boldred(2) & \boldred(0) & \boldred(-2) & \boldred(-14)\\ 3 & \ qalin(-17) & -3 & 19 & \boldred(29)\\ \boldred(5) & \boldred(-6) & \boldred(8) & \boldred(-9) & \boldred(41)\ \ -5 & \boldred(11) & 16 & -20 & \boldred(-98)\\ -7 & \boldred(10) & 14 & -36 & \boldred(79) \end(massiv) \o'ng) ;\; M"=\left|\begin(massiv) (ccc) 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(massiv)\o'ng|. $$

Buyurtmasi $5-2=3$ bo'lgan kichik $M"$, kichik $M$ga to'ldiruvchi minor hisoblanadi.

Minorga algebraik to‘ldiruvchi Kvadrat matritsaning $M$ $A_(n\times n)$ ifodasi $(-1)^(\alpha)\cdot M"$ deb ataladi, bu erda $\alpha$ - satr va ustun raqamlarining yig'indisi. $A$ matritsasining kichik $M$ elementlari joylashgan va $M"$ minor $M$ ning kichik toʻldiruvchisidir.

“Kichik $M$ga algebraik toʻldiruvchi” iborasi koʻpincha “minor $M$ga algebraik toʻldiruvchi” iborasi bilan almashtiriladi.

Masalan, $A$ matritsasini ko'rib chiqing, buning uchun biz ikkinchi tartibli minor $ M=\left| \begin(massiv) (ccc) 2 & -14 \\ -6 & 41 \end(massiv) \o'ng| $ va uning qoʻshimcha uchinchi darajali minori: $M"=\left| \begin(massiv) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end (massiv) \right|$ Kichik $M$ ning algebraik toʻldiruvchisini $M^*$ deb belgilaymiz. Keyin taʼrifga koʻra:

$$ M^*=(-1)^\alpha\cdot M". $$

$\alpha$ parametri kichik $M$ joylashgan satr va ustun raqamlari yig'indisiga teng. Bu minor 1-sonli, 3-sonli qatorlar va 2-sonli, 5-sonli ustunlar kesishmasida joylashgan. Shuning uchun $\alpha=1+3+2+5=11$. Shunday qilib:

$$ M^*=(-1)^(11)\cdot M"=-\left| \begin(massiv) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(massiv) \o'ng|.$$

Asosan, ikkinchi va uchinchi darajali determinantlarni hisoblash mavzusidagi №2 formuladan foydalanib, siz $M^*$ qiymatini olgan holda hisob-kitoblarni bajarishingiz mumkin:

$$ M^*=-\chap| \begin(massiv) (ccc) 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end(massiv) \right|=-30. $$

Algebraik to‘ldiruvchi- matritsalar algebrasi haqida tushuncha; kvadrat matritsaning aij elementiga nisbatan aij elementning minorini (1)i+j ga ko‘paytirish orqali hosil bo‘ladi; Aij bilan belgilanadi: Aij=(1)i+jMij, bunda Mij A= matritsaning aij elementining minori, yaʼni. aniqlovchi ...... Iqtisodiy va matematik lug'at

algebraik to‘ldiruvchi- matritsalar algebrasi haqida tushuncha; kvadrat matritsaning aij elementiga nisbatan aij elementning minorini (1)i+j ga ko‘paytirish orqali hosil bo‘ladi; Aij bilan belgilanadi: Aij=(1)i+jMij, bunda Mij A= matritsaning aij elementining minori, yaʼni. matritsa determinanti, ...... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

San'atga qarang. Aniqlovchi... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

Minor M uchun M - k tartibli minor bo'lganiga teng son, n tartibli qandaydir A kvadrat matritsasi raqamlari bilan raqamlar va ustunlar bilan qatorlarda joylashgan; Minor M ning satr va ustunlarini o‘chirish yo‘li bilan A matritsadan olingan n k tartibli matritsaning determinanti;... ... Matematik entsiklopediya

Vikilug‘atda “qo‘shimcha” so‘zi bor. Qo‘shimchaning ma’nosi... Vikipediya

Amaliyot berilgan X to‘plamning kichik to‘plamini boshqa kichik to‘plamga moslashtiradi, shunda Mi N ma’lum bo‘lsa, X to‘plami u yoki bu tarzda tiklanishi mumkin.X to‘plami qanday tuzilishga ega bo‘lishiga qarab,... ... Matematik entsiklopediya

Yoki determinant, matematikada, raqamlarning kvadrat jadval ko'rinishidagi yozuvi, unga mos ravishda boshqa raqam (determinantning qiymati) joylashtirilgan. Ko'pincha determinant tushunchasi determinantning ma'nosini ham, uni yozib olish shaklini ham anglatadi. Collier ensiklopediyasi

Ehtimollar nazariyasidan teorema uchun Moivre-Laplasning mahalliy teoremasi maqolasiga qarang. Laplas teoremasi chiziqli algebra teoremalaridan biridir. Fransuz matematigi Per Simon Laplas (1749 1827) sharafiga nomlangan ... ... Vikipediya

- (Laplas matritsasi) grafikni matritsa yordamida tasvirlashdan biri. Kirchhoff matritsasi ma'lum bir grafikning (matritsa daraxti teoremasi) yoyilgan daraxtlarini hisoblash uchun ishlatiladi va spektral grafiklar nazariyasida ham qo'llaniladi. Mundarija 1... ...Vikipediya

Tenglama ikki algebraik ifodaning tengligini ifodalovchi matematik munosabatdir. Agar tenglik unga kiritilgan noma'lumlarning har qanday ruxsat etilgan qiymatlari uchun to'g'ri bo'lsa, u identifikatsiya deb ataladi; masalan, shakl nisbati... ... Collier ensiklopediyasi

Kitoblar

• Diskret matematika, A. V. Chashkin. 352 b. Darslik diskret matematikaning asosiy bo'limlari: kombinatorial analiz, grafiklar nazariyasi, mantiqiy funktsiyalar, hisoblash murakkabligi va kodlash nazariyasi bo'yicha 17 bobdan iborat. Tarkibida...